传递函数与广义阻抗
一个极点同时决定暂态与截止
用广义阻抗看 RC 低通，H(s) = (1/sC)/(R + 1/sC) = 1/(1+sRC)。使分母为零的极点是 s = −1/(RC) = −1/τ，位于 s 平面的负实轴上。滑动时间常数 τ，把极点放到目标 s = −2。那个极点既是暂态的快慢 e^(−t/τ)，也是频率截止 ω_c = 1/τ。
把 jω 拓宽为 s
正弦稳态中阻抗用 jω 写：电感为 jωL，电容为 1/jωC。把这个 jω 一般化为复频率 s = σ + jω，电感就成为 sL，电容为 1/sC。令 s = jω(σ=0)便完全回到正弦稳态；让 s 带实部 σ，增长或衰减的暂态也收入同一阻抗。电阻与频率无关，仍为 R。这一次拓宽把稳态与暂态结于同一种语言。
电路是 s 的分压
用广义阻抗看，串联的两个元件仍是分压器。RC 低通中从电容两端取输出，H(s) = Vout/Vin = Z_C/(Z_R + Z_C) = (1/sC)/(R + 1/sC)。分子分母同乘 sC 并整理得 H(s) = 1/(1 + sRC)。一行分压就是电路的传递函数。把电感作为 sL 放入，或换更复杂的电路，用阻抗写的分压与合成照样构成 H(s)。
一个式子，三张面孔
传递函数 H(s) = 1/(1+sRC) 可三种读法。第一，s = 0(直流)时 H = 1，直流增益为1，缓变信号原样通过。第二，令 s = jω，H(jω) = 1/(1+jωRC)，幅度在 ω = 1/RC 处折到 1/√2 的低通频率响应。第三，使分母为零的极点 s = −1/RC 决定暂态，合上开关后输出按 e^(−t/RC) 稳定。同一个式子同时容纳直流增益、频率截止与暂态时间常数。一个极点位置就压缩了电路的全部行为。
回到第一屏
滑动时间常数 τ 时，极点 s = −1/τ 沿负实轴移动，在 τ = 0.5 处到达目标 s = −2。那一个极点同时定下两件事：在时间上是输出按 e^(−t/τ) 稳定的快慢，在频率上是 ω = 1/τ 处折弯的截止。因为把 jω 拓宽为 s、把电容看作 1/sC，RC 低通才写成一行分压 H(s) = 1/(1+sτ)，那一个式子同时容纳直流增益、频率响应与暂态。