传递函数与广义阻抗
一个极点同时决定暂态与截止
左边是 RC 低通电路，用广义阻抗来看，H(s) = (1/sC)/(R + 1/sC) = 1/(1+sRC)。使分母为 0 的极点在 s = −1/(RC) = −1/τ，右边 s-平面负实轴上画的叉号就是它的位置。拖动时间常数 τ，把叉号移到虚线圆所示的目标 s = −2。这个极点既是暂态的快慢 e^(−t/τ)，也是频率截止 ω_c = 1/τ。
把 jω 拓宽为 s
在正弦稳态中，阻抗用 jω 表示：电感是 jωL，电容是 1/jωC。把这个 jω 推广为复频率 s = σ + jω，电感就成了 sL，电容成了 1/sC。令 s = jω(σ=0)，就回到正弦稳态；让 s 带有实部 σ，增长或衰减的暂态也都装进了同一个阻抗。电阻与频率无关，仍是 R。这一次推广，让稳态和暂态可以用同一种语言来处理。
电路是 s 的分压
用广义阻抗来看，串联的两个元件仍然是分压器。RC 低通从电容两端取输出，H(s) = Vout/Vin = Z_C/(Z_R + Z_C) = (1/sC)/(R + 1/sC)。分子分母同乘 sC 整理得 H(s) = 1/(1 + sRC)，一行分压式就是电路的传递函数。把电感作为 sL 接进去也好，电路更复杂也好，用阻抗写出的分压与合成照样构成 H(s)。
一个式子，三张面孔
传递函数 H(s) = 1/(1+sRC) 有三种读法。第一，在 s = 0(DC)处 H = 1，直流增益为 1，缓慢变化的信号原样通过。第二，令 s = jω，得到 H(jω) = 1/(1+jωRC)，这是幅值在 ω = 1/RC 处折到 1/√2 的低通频率响应。第三，使分母为 0 的极点 s = −1/RC 决定暂态：接通开关后，输出与最终值之差按 e^(−t/RC) 缩小。同一个式子同时包含直流增益、频率截止和暂态时间常数，极点的位置把电路的全部行为压缩在了一起。图中浅色涂出的左半平面，是暂态逐渐消失的稳定区域。
回到第一屏
拖动时间常数 τ，极点 s = −1/τ 沿负实轴移动，在 τ = 0.5 时到达虚线圆所示的目标 s = −2。这一个极点同时决定了两件事：在时间上，是输出按 e^(−t/τ) 稳定下来的暂态快慢；在频率上，是在 ω = 1/τ 处折下的截止。正因为把 jω 推广为 s、把电容看作 1/sC，RC 低通才写成了一行分压式 H(s) = 1/(1+sτ)，而这一个式子同时容纳了直流增益、频率响应和暂态。