CR · s域

s平面的极点与稳定性

拉普拉斯变换把微分变成乘以 s，把电路的行为压缩成一个个点，也就是极点。本单元学习：这个点落在平面的什么位置，决定了响应是逐渐消失还是失控增大。

极点在虚轴的哪一侧

左边是标有一对极点的复平面，右边是这对极点产生的时间响应。改变极点的实部 σ：在虚轴左侧，响应一边振荡一边逐渐衰减；在右侧，则会失控地增大。找出区分稳定与不稳定的边界，即虚轴 σ = 0。

极点实部 σσ = -0.80

响应区域

稳定 · 衰减

离边界很远

极点是时间响应的蓝图

在拉普拉斯变换中，微分 d/dt 变成乘以 s。于是电路的微分方程变成关于 s 的代数方程，使分母为 0 的 s 值就是极点。每一个极点 s = σ + jω，都会在时域中产生一段响应 e^(σt)cos(ωt)。整个电路的自然行为，就是这些片段之和。

实部决定生死

在响应片段 e^(σt)cos(ωt) 中，cos 只在 −1 与 1 之间来回，让幅度变大或变小的是前面的 e^(σt)。σ 为负时，这条包络收敛到 0，响应逐渐消失(稳定)；σ 为正时，包络无限增大，响应发散(不稳定)。σ 恰好为 0 时，包络恒为 1，振荡既不减小也不增大，处于边界状态。

虚部是振荡的快慢

极点的虚部 ω 决定响应振荡得有多快。ω 大则振荡快，ω 为 0 则不振荡，只按指数规律变化。所以只看一对极点的位置 (σ, ω)，就能一眼读出电路是否稳定，即极点是否在虚轴左侧，以及振荡有多剧烈。本图把 ω 固定为 6 rad/s，只移动 σ。正弦稳态下的 jω 响应，是把极点移到虚轴上的特殊情形。

观察s = σ + jω → |resp| ∝ e^σt

实部形成包络。

选择σ < 0 → e^σt ?

在左半平面，响应衰减到 0。

填空 → σ = ?

虚轴是稳定的边界。

自己来 → ?

虚部是振荡的快慢。

回到第一屏

把极点放在左边，时间响应一边振荡一边逐渐衰减；移到右边，同样的振荡就失控地增大。在虚轴 σ = 0 上，振荡既不减小也不增大，正处在边界。电路是否稳定这个大问题，被压缩成了一件事：极点在平面的哪一侧。

拉普拉斯变换把微分 d/dt 变成乘以 s，从而用代数求解电路。使分母为 0 的极点 s = σ + jω 决定时间响应 e^σtcos(ωt)，其中实部 σ 决定稳定性：σ < 0(左半平面)时响应衰减，稳定；σ = 0(虚轴)为边界；σ > 0(右半平面)时发散，不稳定。虚部 ω 决定振荡的快慢。