CR · 暂态

RLC二阶响应与阻尼

电感和电容在同一个电路里时，两者会来回交换能量，使响应发生振荡。本单元学习用阻尼比 ζ 这一个数，来描述这种振荡被压住了多少。

一个阻尼比决定响应形状

金色曲线是加上阶跃输入后的响应，淡绿色曲线是为了比较而画出的临界阻尼响应。改变阻尼比 ζ，响应有时一边振荡一边冲过头，有时慢吞吞地爬上来；在这两者之间，有一个点能让响应不超调、最快地稳定下来。找出金色曲线与绿色曲线重合的那个临界点 ζ = 1。

阻尼比 ζζ = 0.30

响应区域

欠阻尼 · 振荡

离临界很远

两个元件交换能量

电感把能量存在电流里，电容把能量存在电压里。两者在同一个电路中时，一方放空，另一方就充满，能量来回往返。如果没有电阻，电路会永远振荡下去；而电阻会从每次摆动中一点点抽走能量，让它平息。1 阶电路 RC 单调地接近目标，2 阶电路 RLC 则可能冲过目标再折返。

阻尼比分出三种情形

电阻较弱时(ζ<1)，能量往返多次，响应振荡，并出现冲过目标的超调。电阻较强时(ζ>1)，完全不会振荡，但响应慢吞吞地爬上来。在两者之间恰好有一个点，即 ζ=1，响应不超调、最快地稳定下来，这就叫临界阻尼。

ζ由R、L、C决定

在串联 RLC 中，阻尼比为 ζ = (R/2)√(C/L)。增大电阻，ζ 变大，振荡被压住；增大电感，ζ 变小，电路更容易振荡。振荡本身的快慢由固有角频率 ω_n = 1/√(LC) 决定，而实际的振荡角频率 ω_d = ω_n√(1−ζ²) 随阻尼增强而变慢。图中横轴是把 ω_n 取为 1 的时间，所以无论 R、L、C 怎样组合，只要 ζ 相同，曲线就相同。

观察ζ = (R2)√(CL)

电阻越大，阻尼比越大。

选择ω_n = ?

固有角频率由 L 和 C 决定。

填空ω_d = ω_n ?

阻尼越强，振荡越慢。

自己来ζ = ?

不超调且最快的响应 = 临界阻尼。

回到第一屏

ζ 小时，响应冲过目标，反复振荡。增大 ζ，振荡逐渐减弱；到 ζ=1 时，响应不超调、最快地稳定下来，与绿色参考曲线重合。再增大到过阻尼，振荡没有了，响应却变得迟缓。无论电阻、电感、电容取什么值，由它们组合而成的阻尼比 ζ 这一个数，掌握了响应形状的全部。

阻尼比 ζ = (R/2)√(C/L) 是决定串联 RLC 阶跃响应形状的一个数。ζ<1 为欠阻尼，振荡且超调；ζ=1 为临界阻尼，不超调、最快稳定；ζ>1 为过阻尼，不振荡、迟缓地接近。固有角频率为 ω_n = 1/√(LC)，阻尼振荡角频率为 ω_d = ω_n√(1−ζ²)。