CR · 暂态

RL暂态与时间常数

即使给电感加上电压，电流也不会一下子流起来，而是沿着曲线慢慢上升。和电容电压一样，这一次你要学会用一个数——时间常数 τ——来衡量和处理电流滞后的程度。

一个时间常数填满63%

金色曲线表示开关闭合后电感电流朝着最上方白色虚线所示的最终值上升，曲线上的点是当前时刻的电流。把时间从 0 开始拖动，找出这个点到达绿色虚线拐角，也就是最终值63%的那一刻。那个时刻就是时间常数 τ。

时间 tt = 0.6 ms

电感电流 i

i = 0.52 A

26% 相对最终值 (τ = 2 ms)

离一个时间常数还远

为什么是曲线

电感阻碍电流的变化。电源要把电流推高时，电感就用与 di/dt 成正比的反电动势来对抗。开关闭合的瞬间电流为 0，电阻上没有电压，电源电压全部加在电感上，电流上升得最陡。电流越接近最终值 I = V/R，电阻分得的电压越多，电感分得的电压也就是 di/dt 越小，所以曲线不是直线，而是逐渐变缓的指数曲线。

时间常数 τ = L/R

决定曲线快慢的，是电感除以电阻得到的 τ = L/R。电感越大，对电流变化的阻碍越强，过程越慢；电阻越大，最终电流越小，也就越早稳定下来。在 RC 中电阻在分子上，越大越慢；在 RL 中电阻在分母上，越大越快，这一点像镜子一样颠倒。τ 具有时间的单位，经过一个时间常数，离目标剩下的距离约有63%被填满。每过一个 τ 都填满剩余距离的同一比例，这就是指数函数的性质。

何时算“完成”

一个时间常数上升到63%，两个到86%，三个到95%。过了五个时间常数就超过99%，实际上可以看作完成，所以估计电路稳定到新电流所需的时间时，取 5τ 作为经验值。图中横轴的右端正是这个点。这一切都是 RC 暂态的镜像：电容阻碍电压变化，按 τ = RC 充电；电感阻碍电流变化，按 τ = L/R 上升。电流减小时也遵循同一个 τ，但如果直接断开开关，电流无处可去，电感会产生很高的电压，所以实际电路要另外准备二极管之类的通路。

观察i(t) = I(1 − e^−t/τ)

以指数方式接近目标。

选择τ = ?

时间常数是电感除以电阻。

填空t = τ → i = ? I

一个时间常数处63%。

自己来99% ≈ ? τ

大约五个时间常数后基本结束。

回到第一屏

拖动时间，金色曲线上的点陡然出发、逐渐变缓，到达最终值63%处绿色虚线拐角的那一刻，正好是一个时间常数 τ。此后曲线每过一个 τ 都填满剩余距离的同一份额，在横轴右端约五个时间常数处几乎变平。τ = L/R 这一个数掌握着这条曲线的全部快慢。电容电压用 RC 描出的曲线，在电感中由电流像镜子一样重复了一遍。

时间常数 τ = L/R 是决定 RL 电路对电流变化响应快慢的一个数，具有时间的单位。上升的电流为 i(t) = I(1 − e^−t/τ)，I = V/R；经过一个时间常数，离最终值剩下的距离约有 63% 被填满，约 5τ 后超过99%，实际上已稳定。正如电容阻碍电压变化，电感阻碍电流变化，这是 τ = RC 的 RC 暂态的镜像。