CR · 正弦稳态
相量：旋转的箭头
在交流中，电压和电流都是不停摆动的正弦波，连相加都很麻烦。把同频率的正弦波变成一支旋转的箭头，繁琐的三角函数相加就化为首尾相连的箭头矢量和。学会这一次视角的转换。
直角相遇的3和4变成5
取一支长度为3的箭头(A1，基准0度)，把一支长度为4的箭头(A2)按相位φ旋转后首尾相连。把两者合成一个正弦波，其振幅就是两箭头相加的合成箭头长度R。滑动φ，使合成振幅恰好为5——那正是两箭头以直角(90度)相遇之处。
第二箭头的相位 φφ = 30°
合成正弦波的振幅 R
R = √(A1²+A2²+2A1A2cosφ) = 6.77
离 5 很远
一个正弦波，一支箭头
正弦波 A cos(ωt+φ) 是一支以长度A、起始角度φ匀速旋转的箭头的影子。箭头转过 ωt 时，它的水平影子就是该时刻正弦波的值。所以把不停摆动的正弦波，撇开摆动，只用长度A和相位φ两个数来写。这就是相量 A∠φ。同频率时每支箭头都以相同速率旋转，所以只有彼此的相对角度保持不变。
同频率以箭头相加
把两个同频率的正弦波相加，结果仍是该频率的正弦波。只有振幅和相位是新的，而这两者由首尾相连的两支相量箭头的矢量和精确给出。合成箭头的水平分量为 A1 + A2 cosφ，竖直分量为 A2 sinφ，所以合成振幅是其斜边 R = √((A1+A2cosφ)² + (A2sinφ)²) = √(A1² + A2² + 2A1A2 cosφ)。无需记三角恒等式，一张图就完成了相加。
直角时为平方和的平方根
两支箭头以90度相遇时，cosφ 为0，中间项消失，只剩 R = √(A1² + A2²)——直角三角形的斜边，正是3和4变成5的那个关系。这种直角相加潜藏在交流各处。在阻抗中，电阻R与电抗X以90度相加得 |Z| = √(R²+X²)；在功率中，有功功率P与无功功率Q以90度相加得视在功率 S = √(P²+Q²)。全都是同一张箭头图。
观察A cos(ωt+φ) → A∠φ
正弦波是旋转箭头。
选择Rx = ?
合成的水平分量。
填空R = ?
合成振幅是斜边。
自己来φ=90° → R = ?
直角时为平方和的平方根。
回到第一屏
滑动相位φ时，合成箭头的长度从7降到1，恰为5时是φ = 90度，两支箭头以直角相遇之处。长度3和4成直角时斜边为5——那个熟悉的直角三角形本身就是正弦波的相加。把摆动的正弦波看作旋转箭头这一次视角转换，把三角函数的搏斗变成首尾连箭头。阻抗和功率三角形归根结底都出自这一张图。
相量把同频率的正弦波 A cos(ωt+φ) 写成长度A、角度φ的旋转箭头 A∠φ。把同频率的正弦波相加就成为首尾相连的相量箭头的矢量和，合成振幅为 R = √(A1² + A2² + 2A1A2 cosφ)。当两箭头成90度时中间项消失，剩 R = √(A1² + A2²)——阻抗 √(R²+X²) 与视在功率 √(P²+Q²) 都是这种直角相加。