相量：旋转的箭头
直角相遇的3和4变成5
上图中，长度为 3 的浅蓝色箭头(A1)固定在 0 度基准上，它的末端接着长度为 4 的绿色箭头(A2)，它转过了相位 φ。把两个正弦波合成一个正弦波，振幅就是从起点连到终点的金色合箭头的长度 R，下方图中的粗曲线就是这个合成正弦波。拖动 φ，使合振幅恰好为 5。那里正是两个箭头成直角(90 度)相交的位置。
一个正弦波就是一个箭头
正弦波 A cos(ωt+φ) 是长度为 A、起始角为 φ 的箭头匀速旋转时投下的影子。箭头转过 ωt 时，它在横轴上的影子正是那一时刻的正弦波值。所以对不停摆动的正弦波，可以先把摆动放在一边，只用长度和相位两个数来表示，这就是相量 A∠φ。同频率时所有箭头以相同速度旋转，彼此的相对角度保持不变。
同频率以箭头相加
两个同频率的正弦波相加，结果仍是同频率的正弦波，需要重新确定的只有振幅和相位。这两者可以直接从两个相量箭头首尾相接的矢量和中读出。合箭头的水平分量为 A1 + A2 cosφ，竖直分量为 A2 sinφ，合振幅就是斜边 R = √((A1+A2cosφ)² + (A2sinφ)²) = √(A1² + A2² + 2A1A2 cosφ)。不必背三角恒等式，一张图就完成了加法。
直角时为平方和的平方根
两个箭头成 90 度相交时，cosφ 为 0，中间项消失，只剩 R = √(A1² + A2²)。这就是直角三角形的斜边，也就是 3 和 4 合成 5 的那个关系。这种直角加法藏在交流电的各个角落。在阻抗中，电阻 R 和电抗 X 以 90 度相加，得到 |Z| = √(R²+X²)；在功率中，有功功率 P 和无功功率 Q 以 90 度相加，得到视在功率 S = √(P²+Q²)。它们都出自同一张箭头图。
回到第一屏
拖动相位 φ，合箭头的长度从 7 变到 1，恰好为 5 是在 φ = 90 度、两个箭头成直角相交的时候。长度 3 和 4 成直角，斜边就是 5，那个熟悉的直角三角形本身就是正弦波的加法。在下方的图中，粗合成曲线的高度也正是这条斜边。把摆动的正弦波看成旋转箭头，这一次视角转换把与三角函数的搏斗变成了箭头相接，阻抗和功率三角形最终也都出自这一张图。