CR · 频率响应

截止频率与一阶低通

同一个 RC 电路，对不同频率的信号通过的程度也不同。本单元学习如何读出截止频率，也就是电路从“通过”转为“阻挡”的分界。

低频通过，高频受阻

图中横轴是对数刻度的频率，纵轴是输出与输入幅度之比，即增益。把频率从低往高调，起初输出与输入几乎相同，随后逐渐变小；找出增益降到 1/√2，即 −3dB 的截止频率。纵轴下方的那条刻度正是这个高度。

频率 ω / ω_cω/ω_c = 0.20

通过增益

|H| = 0.981  ·  -0.2 dB

离截止很远

把电阻和电容串联，从电容两端取出输出，二者就构成一个分担电压的分压器。可是电容的阻抗 1/ωC 与频率成反比。所以在低频时电容几乎分走全部电压，输出接近输入；在高频时电容分得的份额变小，输出就萎缩了。

电阻的大小与电容阻抗的大小相等时的频率，就是这个分界。那里 ω_c = 1/RC，两个阻抗大小相同、方向垂直，所以输出降为输入的 1/√2 ≈ 0.707 倍。按功率算正好一半，因此这个点叫作 −3dB 点；在相位上，输出正好比输入滞后 45 度。

在截止频率以上，频率每升高十倍，增益就降到 1/10，也就是下降 −20dB。这个恒定的斜率是 1 阶滤波器的标志。本图的纵轴直接画增益，所以看起来是曲线；若把纵轴也换成 dB 画成伯德图，平坦的直线与以 −20dB/decade 下降的直线相交成一个折角，那个折角正是截止频率。

观察|H| = 1/√(1+(ω/ω_c)²)

频率越高增益越低。

选择ω_c = ?

两个阻抗大小相等的地方。

填空ω = ω_c → |H| = ?

大小相同且垂直 → 1/√2。

自己来ω = ω_c → φ = ?

在截止频率处，输出滞后 45 度。

提高频率时，增益先是平坦的，在截止频率附近折弯下降；恰好在 ω_c = 1/RC 处，输出是输入的 0.707 倍，即 −3dB。此后每升高十倍，增益稳定地下降 −20dB。同一个电路会因送入的频率不同而通过或被阻挡，这一事实就浓缩在一个截止频率里。

1 阶低通滤波器是一个 RC 分压器，增益为 |H| = 1/√(1+(ω/ω_c)²)。在截止频率 ω_c = 1/RC 处，输出降为输入的 1/√2(−3dB)，相位为 −45 度。在其上方，增益以 −20dB/decade 的恒定斜率下降，于是低频通过、高频被阻挡。