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CR · 频率响应

截止与一阶高通

用的是与低通完全相同的电阻和电容,只要改变从哪里取出输出,表现就正好相反。本单元学习如何读出阻挡低频、通过高频的高通滤波器的截止频率。

高频通过,低频受阻

图中横轴是对数刻度的频率,纵轴是输出与输入幅度之比,即增益。把频率从低往高调,起初几乎被挡住,随后逐渐通过;找出增益升到 1/√2,即 −3dB 的截止频率。纵轴下方的那条刻度正是这个高度。

频率 ω / ω_cω/ω_c = 0.20
通过增益
|H| = 0.196 · -14.2 dB
离截止很远

这次从电阻取输出

低通是从电容两端取输出,高通则在同一个串联 RC 中看电阻两端。电容的阻抗 1/ωC 在低频时非常大,几乎分走全部电压,电阻上几乎没有电压。所以低频被挡住。频率升高后,电容分得的份额变小,电阻接过电压,高频便得以通过。

截止频率 ω_c = 1/RC

与低通一样,电阻的大小与电容阻抗的大小相等时的频率就是分界。那里 ω_c = 1/RC,输出是输入的 1/√2 ≈ 0.707 倍,即 −3dB。不过相位的符号相反:在高通中,输出比输入超前 45 度,越往截止频率以下,相位越接近 +90 度。

截止以下以固定斜率上升

在截止频率以上,增益几乎为 1,很平坦。在截止频率以下,频率每降低到十分之一,增益就降到 1/10,也就是下降 −20dB。本图纵轴直接画增益,但在以 dB 画出的伯德图中,截止频率以上的平坦直线,与其下方斜率为 −20dB/decade(由下往上看是 +20dB/decade)的直线相交成的折角,就是截止频率。高通用在需要挡住直流分量、只让信号的变化部分通过的场合,微分器和耦合电容就是例子。

观察|H| = (ω/ωc) / √(1+(ω/ωc)²)
频率越高,增益越大。
选择ωc = ?
两个阻抗大小相等的地方。
填空ω = ωc → |H| = ?
在截止处增益为 1/√2。
自己来ω = ωc → φ = ?
截止处输出超前45度。

回到第一屏

提高频率时,增益从接近 0 出发,在截止频率附近折弯上升;恰好在 ω_c = 1/RC 处,输出是输入的 0.707 倍,即 −3dB。此后平坦地趋近 1。与低通完全相同的元件,只因从电阻上取出输出这一点不同,就把通过的频率完全颠倒了过来。

1 阶高通滤波器是在串联 RC 中以电阻两端为输出,增益为 |H| = (ω/ωc)/√(1+(ω/ωc)²)。在截止频率 ωc = 1/RC 处,输出为输入的 1/√2(−3dB),相位为 +45 度。截止以上平坦(1),截止以下以 −20dB/decade 下降。它阻挡直流和低频,让高频通过。