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CM · 数字调制

带宽与符号率

发送一个符号,既要占用时间,也要占用频带。在给定带宽 B 内,无论多么急着发送,每 1 秒发出的符号都不能超过 2B 个。本单元弄清这个奈奎斯特上限从何而来,以及为什么要传更多比特,就得让符号变“重”而不是变快。

符号能挤得多密?

每个淡色的峰是一个符号脉冲,粗曲线是把所有脉冲加起来得到的接收波形。提高符号率,脉冲之间的间距会缩小,但脉冲宽度由带宽决定,保持不变。所以 Rs 一旦超过 2B,脉冲就互相重叠,接收波形糊成一团,变成红色。

符号率 RsRs = 1.50 × 2B
Rs = 2B 是奈奎斯特上限。右侧数值表示符号率是这个上限的几倍,初始值在上限之上,所以是红色。
符号率与奈奎斯特上限
Rs > 2B → ISI
ISI · 重叠

符号占用时间

发送一个符号需要一个时间格 Ts,每 1 秒发送的符号数,即符号率,为 Rs = 1/Ts。想发得更快,似乎只要把格子缩窄、把脉冲排得更紧就行了。可是脉冲不能无限地挤在一起,因为脉冲越短,占用的频带就越宽。

奈奎斯特——带宽设上限

奈奎斯特信令定理确定了这个上限的高度。在带宽为 B 的信道里,每 1 秒最多只能发送 2B 个互不干扰的符号。符号率再往上提,相邻脉冲就会渗进彼此的时间格,接收机读一个符号时,旁边的符号也混了进来。这种渗漏叫作码间干扰(ISI),脉冲一旦糊成一团,比特就再也找不回来。

观察Rs ≤ 2B
带宽 B 内,符号率不能超过 2B。
选择Rb = Rs · log₂ ?
符号率乘以每符号 log₂ M 比特。

更多比特让符号更重

既然符号率卡在 2B,要在同一频带里增加比特,唯一的办法就是让每个符号装载更多比特。采用 M 进制时,每个符号携带 log₂ M 比特,比特率便是 Rb = Rs log₂ M。每 1 赫兹的效率 η = Rb/B 最高可达 2 log₂ M。不过 M 越大,信号点越挤,所需的信噪比越高,而再往前,还有香农划定的、无法逾越的上限。

填空η = Rb / ? (bit/s/Hz)
效率是比特率除以带宽的值。
自己来C = B log₂(1 + ?)
更高的上限是香农容量,留到后面的单元讨论。

回到第一屏

提高符号率后,脉冲越靠越近,Rs 超过 2B 的那一刻,它们互相重叠,接收波形糊成一团,变成红色的 ISI。在 2B 稍下方,脉冲依然清晰分开,又把频带用得满满当当,呈金色;符号率降得太低,脉冲之间出现空隙,浪费频带,呈橙色。要记住的只有一点:带宽决定了符号率的上限 2B,所以更多比特只能靠让符号变“重”来获得,而不是靠发得更快。

根据奈奎斯特信令速率,带宽为 B 的信道,其符号率不能超过 Rs ≤ 2B。再快的话脉冲就会重叠,产生码间干扰(ISI)。比特率等于乘上每符号比特数的 Rb = Rs log₂ M,频谱效率为 η = Rb/B ≤ 2 log₂ M。要在同一频带里增加比特,就必须增大 M、让符号变重,代价是更高的 SNR,而绝对极限是香农容量。

下一单元

无论是让符号变重,还是避开 ISI,都反复出现了同一个量:信噪比 SNR。下一单元先来看这种噪声的真面目:热噪声从哪里来,信号功率与噪声功率之比意味着什么,以及这个比值为什么决定了通信的极限。