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高中二年级 (16-17岁)

高中数学 递推式

递推公式只用一个首项和一条“由前一项得出后一项”的规则，就确定了整个数列。 只要有起始的数和规则，反复使用规则，就能无穷无尽地得出第二项、第三项、第四项…… 每次加同一个数得到等差数列，每次乘同一个数得到等比数列；如果加的量随 n 变化，就用求和符号把这些量加起来求通项。 在图中增加所得的项数，从 a₁ = 1 出发、每次加2的点会一个接一个地连起来。

由前一项得出后一项

5
👀 递推公式如何确定数列
①递推公式用首项和“由前一项得出后一项的规则”来确定数列
②从 a₁ 出发反复使用规则，所有的项就一个个确定下来
③这样确定数列的方法叫作数列的递推定义
④图中的点每走一步上升2，所以都在同一条直线上

等差型与等比型

等差型递推公式
an+1 = an + d ⇒ 等差数列, an = a1 + (n−1)d
每次都加同一个值 d，就是公差为 d 的等差数列
等比型递推公式
an+1 = r·an ⇒ 等比数列, an = a1·rn-1
每次都乘同一个数 r，就是公比为 r 的等比数列

累加型：加的量会变化时

累加型递推公式
an+1 = an + f(n) ⇒ an = a1 + ∑k=1n-1 f(k)
当所加的量 f(n) 随 n 变化时，用首项加上 f(1) 到 f(n − 1) 的和来求通项

用例题检验

例题 1
已知 a1=3, an+1=an+2，求 a5。
1
每次都在前一项上加2，所以是首项为3、公差为2的等差数列。
an = 3 + (n−1)·2
2
把 n = 5 代入通项。
a5 = 3 + 4·2 = 11
▸ 11
遇到“前一项 + 常数”的形式，不必一项一项地求，直接用等差数列的通项公式即可。依次写出3, 5, 7, 9, 11 也是同样的结果。
例题 2
已知 a1=1, an+1=2an+1，求 a4。
1
从 a₁ = 1 开始依次使用规则。
a2=3, a3=7, a4=15
2
a₄ 等于把 a₃ = 7 乘2再加1。
a4 = 2·7 + 1 = 15
▸ 15
2aₙ + 1 的形式既不是等差也不是等比，从前几项直接算起更快。1, 3, 7, 15 分别是 2¹ − 1, 2² − 1, 2³ − 1, 2⁴ − 1，可以猜出 aₙ = 2ⁿ − 1。

总结

核心结论
an+1=an+d (等差), an+1=r an (等比), an+1=an+f(n) (差分)
先看递推公式的形式，判断它是等差型、等比型还是累加型
2020 韩国高考数学类题改编
由 a1=2, an+1=an+3 定义的数列，a10 为?
①26
②29
③32
④35
⑤38
▸ ② 29
1
每次都在前一项上加3，所以是首项为2、公差为3的等差数列。
an = 2 + (n−1)·3
2
把 n = 10 代入通项，就是在2上加9次3。
a10 = 2 + 9·3 = 29
🎯 考试要点
①先判断递推公式的形式：总加 d 是等差，总乘 r 是等比
②累加型 aₙ₊₁ = aₙ + f(n) 用求和来解
③形式陌生时，从 a₁ 开始直接写出几项来猜规律
④首项和规则两者完全确定一个数列
⑤求出通项后，要准确代入项的序号
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