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高中数学
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数学Ⅰ
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数列
高中二年级 (16-17岁)
递推式
Recurrence Relations
由前一项生成下一项
递推式 a₁=1, aₙ₊₁=aₙ+2 逐项生成数列的样子
已生成项数 n
5
👀 用眼睛看
①递推式以首项与"下一项 = 由前一项生成的规则"定义数列
②从 a₁ 反复套用规则即可确定所有项
③这称为数列的递归(归纳)定义
等差型与等比型
等差型递推式
a
n+1
= a
n
+ d ⇒ 等差数列, a
n
= a
1
+ (n−1)d
加上常数 d 即为等差数列
等比型递推式
a
n+1
= r·a
n
⇒ 等比数列, a
n
= a
1
·r
n-1
乘以常数比 r 即为等比数列
差分型 — 所加之量变化时
差分型递推式
a
n+1
= a
n
+ f(n) ⇒ a
n
= a
1
+ ∑
k=1
n-1
f(k)
若所加之量随 n 变化，则用其和(西格玛)求通项
直接求一求
例题 1
已知 a
1
=3, a
n+1
=a
n
+2，求 a
5
。
1
加上常数 2，故为公差 2 的等差数列。
a
n
= 3 + (n−1)·2
2
代入 n=5。
a
5
= 3 + 4·2 = 11
▸
11
"前一项 + 常数"形式可直接写等差数列通项。
例题 2
已知 a
1
=1, a
n+1
=2a
n
+1，求 a
4
。
1
逐项套用规则。
a
2
=3, a
3
=7, a
4
=15
2
直接计算各项得 a
4
。
a
4
= 2·7 + 1 = 15
▸
15
若规则非等差非等比，从小项直接生成最快。
总结
核心结论
a
n+1
=a
n
+d (等差), a
n+1
=r a
n
(等比), a
n+1
=a
n
+f(n) (差分)
看递推式形式先判别等差·等比·差分
2020 修能数学类题改编
由 a
1
=2, a
n+1
=a
n
+3 定义的数列，a
10
为?
①
26
②
29
③
32
④
35
⑤
38
▸
② 29
1
这是公差 3 的等差数列。
a
n
= 2 + (n−1)·3
2
代入 n=10。
a
10
= 2 + 9·3 = 29
🎯 考试要点
①先由形式判别:+d 等差，×r 等比
②差分型 a_{n+1}=a_n+f(n) 用西格玛
③不会则由 a_1 生成数项猜规则
④首项与规则二者完全决定数列
⑤求出通项后准确代入项号
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