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我的单词本
高中二年级 (16-17岁)

递推式

Recurrence Relations

递推式只用一个首项，加上由前一项生成下一项的规则，就能确定整个数列。 有了起点和规则，不断重复它，就能一项接一项把第二项、第三项、第四项无穷地生成下去。 每次加上固定的数就是等差数列，乘以固定的比就是等比数列，而所加的量不断变化时，就用西格玛把这些变化汇总成通项。 本页可以拖动滑块逐项增加，亲眼看着递推式把数列一点点画出来。

由前一项生成下一项
5
👀 用眼睛看
①递推式以首项与"下一项 = 由前一项生成的规则"定义数列
②从 a₁ 反复套用规则即可确定所有项
③这称为数列的递归(归纳)定义
等差型与等比型
等差型递推式
an+1 = an + d ⇒ 等差数列, an = a1 + (n−1)d
加上常数 d 即为等差数列
等比型递推式
an+1 = r·an ⇒ 等比数列, an = a1·rn-1
乘以常数比 r 即为等比数列
差分型 — 所加之量变化时
差分型递推式
an+1 = an + f(n) ⇒ an = a1 + ∑k=1n-1 f(k)
若所加之量随 n 变化，则用其和(西格玛)求通项
直接求一求
例题 1
已知 a1=3, an+1=an+2，求 a5。
1
加上常数 2，故为公差 2 的等差数列。
an = 3 + (n−1)·2
2
代入 n=5。
a5 = 3 + 4·2 = 11
▸ 11
"前一项 + 常数"形式可直接写等差数列通项。
例题 2
已知 a1=1, an+1=2an+1，求 a4。
1
逐项套用规则。
a2=3, a3=7, a4=15
2
直接计算各项得 a4。
a4 = 2·7 + 1 = 15
▸ 15
若规则非等差非等比，从小项直接生成最快。
总结
核心结论
an+1=an+d (等差), an+1=r an (等比), an+1=an+f(n) (差分)
看递推式形式先判别等差·等比·差分
2020 修能数学类题改编
由 a1=2, an+1=an+3 定义的数列，a10 为?
①26
②29
③32
④35
⑤38
▸ ② 29
1
这是公差 3 的等差数列。
an = 2 + (n−1)·3
2
代入 n=10。
a10 = 2 + 9·3 = 29
🎯 考试要点
①先由形式判别:+d 等差，×r 等比
②差分型 a_{n+1}=a_n+f(n) 用西格玛
③不会则由 a_1 生成数项猜规则
④首项与规则二者完全决定数列
⑤求出通项后准确代入项号
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数学归纳法
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