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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 定积分的应用

把曲线绕 x 轴旋转一周，就得到一个立体。 用垂直于 x 轴的平面把它切成薄片，每一片都是半径为 f(x) 的圆盘，把圆盘面积 π[f(x)]² 对 x 积分，就得到体积。 曲线的长度也是同样的思路：把曲线切成很短的线段 ds = √(dx² + dy²)，用勾股定理量出长度，再全部加起来。 转动旋转角，曲线绕 x 轴转动并画出截面圆；移动上限 t，曲线长度和它的精确值一起变化。

旋转体的体积

270°
√x
🍩 把圆盘叠起来
①曲线绕 x 轴旋转一周就成为立体。虚线是转过旋转角后的曲线，橙色弧线是在各个 x 处画出的截面圆
②在 x 处切开的截面是半径为 f(x) 的圆盘，面积为 π[f(x)]²
③把这个面积对 x 积分就得到体积。图下方写出了所选函数旋转体体积的精确值

求体积的三种方法

圆盘法
V = π ∫ab [f(x)]² dx
绕 x 轴旋转时，对半径为 f(x) 的圆盘面积积分
垫圈法
V = π ∫ab ([R(x)]² − [r(x)]²) dx
旋转两条曲线之间的区域时，对外半径 R 的圆减去内半径 r 的圆所得圆环的面积积分
柱壳法
V = 2π ∫ab x · f(x) dx
绕 y 轴旋转时，对半径为 x、高为 f(x) 的薄圆柱壳的侧面积 2πx · f(x) 积分
💡 用哪种方法
①绕 x 轴旋转并对 x 积分，用圆盘法
②中间空心的立体，用垫圈法从外圆中减去内圆
③绕 y 轴旋转却想对 x 积分时，用柱壳法。两种都可以时，选计算简单的一种

曲线的长度

3
📏 沿着曲线量
①把曲线切得很短，每一小段都接近一条线段 ds
②ds = √(dx² + dy²) 就是勾股定理。因为 dy = f′(x) dx，所以 ds = √(1 + [f′(x)]²) dx
③y = x√x 时 f′(x) = (3/2)√x，于是 1 + [f′(x)]² = 1 + 9x/4，把它从 0 积分到 t 就是图下方的 L
④用线段连接同样的两个端点，长度比 L 短
曲线的长度
L = ∫ab √(1 + [f′(x)]²) dx
对 ds = √(1 + (dy/dx)²) dx 积分

面积与路程

两条曲线之间的面积
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
对上方函数减去下方函数的差积分；如果有上下交换的交点，就分段计算
速度与路程
距离 = ∫ab |v(t)| dt, 位移 = ∫ab v(t) dt
对速度的绝对值积分得到实际走过的路程，直接对速度积分得到位置的变化（位移）
🚗 用积分累积的量
①对速度 v(t) 积分得到位置的变化（位移），对 |v(t)| 积分得到走过的路程
②对加速度 a(t) 积分得到速度的变化
③积分就是把微小的量累加起来：累加圆盘面积得到体积，连接短线段得到曲线长度

例题

例题 1
求曲线 y = √x（0 ≤ x ≤ 4）绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
1
用圆盘法 V = π∫[f(x)]² dx，这里 [f(x)]² = x。
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx
2
计算定积分。
π · 422 = π · 8 = 8π
▸ 8π
旋转体的体积就是截面圆盘面积 π[f(x)]² 的积分。图中的 y = √x 取 0 ≤ x ≤ 2，体积为 2π；取 0 ≤ x ≤ 4 时为 8π。
例题 2
求曲线 y = x2 与 y = 2x 所围成部分的面积。
1
求出交点，确定积分区间。在 0 < x < 2 上，2x 在上方，x2 在下方。
x2 = 2x ⇒ x = 0, 2
2
对（上方 − 下方）积分。
∫02 (2x − x2) dx = 4 − 83 = 43
▸ 43
两曲线之间的面积是在交点之间对（上方函数 − 下方函数）积分。先确认上下关系。

小结

定积分应用的三个公式
V = π∫[f(x)]²dx，L = ∫√(1 + [f′(x)]²)dx，S = ∫|f − g|dx
旋转体的体积、曲线的长度、两条曲线之间的面积
韩国高考类题改编
在数轴上运动的点 P 的速度为 v(t) = 3t2 − 6t，从 t = 0 到 t = 3，点 P 走过的路程是多少？
①4
②6
③8
④10
⑤12
▸ ③ 8
1
看 v(t) = 3t(t − 2) 的符号：0 < t < 2 时为负，2 < t < 3 时为正。设位置为 s(t) = t3 − 3t2。
v(t) = 3t(t − 2), s(t) = t3 − 3t2
2
路程是 ∫|v| dt，所以把各段位移的绝对值相加。
|s(2) − s(0)| + |s(3) − s(2)| = 4 + 4 = 8
🎯 考试要点
①圆盘法 V = π∫[f(x)]² dx 是绕 x 轴旋转的基本方法
②垫圈法用平方差 [R(x)]² − [r(x)]²，而不是 (R − r)²
③柱壳法 2π∫x · f(x) dx 适合绕 y 轴旋转
④求曲线长度的关键是先求 f′(x)，再化简 √(1 + [f′(x)]²)
⑤求面积要先确认上下交换的交点
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