定积分的应用

Applications of Definite Integrals

把一条曲线绕x轴转一圈，就扫出一个立体。将这个立体切成很薄的圆盘，每片都是半径为f(x)的圆，所以把圆盘面积π[f(x)]²一层层叠起来积分，就得到体积。弧长也是同一个思路：把曲线切成极小的直线段ds = √(dx²+dy²)，用勾股定理量出每段再全部接起来。在下方转动旋转角看回转体如何成形，拖动上限t看弧长如何一段段累积起来。

旋转体的体积

旋转角270°

函数选择0

🍩 叠起圆盘

①将曲线绕x轴旋转形成立体

②每个x位置圆盘的半径 = f(x)

③圆盘面积 = π[f(x)]² → 积分后即为体积

体积公式

圆盘法

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

绕x轴旋转:对半径f(x)的圆盘面积积分

垫圈法

V = π ∫_a^b ([R(x)]² − [r(x)]²) dx

两函数之间区域旋转:外半径R、内半径r

柱壳法

V = 2π ∫_a^b x · f(x) dx

绕y轴旋转:对半径x、高f(x)的圆柱壳积分

💡 圆盘 vs 柱壳

①绕x轴 + 对x积分 → 圆盘法

②绕y轴 + 对x积分 → 柱壳法

③两者都行时选计算简单的

弧长

上限 t3

📏 沿曲线测量

①将曲线切得极短即为直线段(ds)

②ds = √(dx² + dy²) — 勾股定理!

③将这些段全部相加(积分)即为弧长

弧长公式

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx

积分ds = √(1 + (dy/dx)²) dx

面积与速度·距离

两曲线之间的面积

S = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

对(上方函数 − 下方函数)的绝对值积分

速度与距离

距离 = ∫_a^b |v(t)| dt, 位移 = ∫_a^b v(t) dt

|v|的积分 = 总移动距离、v的积分 = 位移(带符号)

🚗 积分的物理意义

①对速度v(t)积分 → 移动距离

②对加速度a(t)积分 → 速度

③积分是'累加' — 累加瞬间即为整体

例题演练

例题 1

求曲线 y = √x (0 ≤ x ≤ 4) 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。

用圆盘法 V = π∫[f(x)]² dx，其中 [f(x)]² = x。

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx

计算定积分。

π · 4²2 = π · 8 = 8π

▸ 8π

旋转体体积是对各截面圆盘面积 π[f(x)]² 积分。绕 x 轴旋转时圆盘法为基本方法。

例题 2

求由两曲线 y = x² 与 y = 2x 围成部分的面积。

求交点以确定积分区间与上下函数。

x² = 2x ⇒ x = 0, 2, 上 2x · 下 x²

对（上 − 下）积分。

∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 83 = 43

▸ 43

面积是在交点之间对（上方函数 − 下方函数）积分。先确认上下关系。

总结

定积分应用核心3公式

V = π∫[f(x)]²dx, L = ∫√(1+[f']²)dx, S = ∫|f−g|dx

旋转体体积、弧长、两曲线之间的面积

高考类型变式

数轴上运动的点 P 的速度为 v(t) = 3t² − 6t，求从 t = 0 到 t = 3 点 P 经过的路程。

①4

②6

③8

④10

⑤12

▸ ③ 8

看 v(t) = 3t(t − 2) 的符号（在 (0,2) 为负，(2,3) 为正）。

v(t) = 3t(t − 2), 位置 s(t) = t³ − 3t²

路程为 ∫|v| dt，故把各区间位移的绝对值相加。

|s(2) − s(0)| + |s(3) − s(2)| = 4 + 4 = 8

🎯 考试重点

①圆盘法:V = π∫[f(x)]²dx — 绕x轴旋转基本

②垫圈法:两函数 → 注意[R²−r²]差

③柱壳法:2π∫x·f(x)dx — 绕y轴旋转有利

④弧长:√(1+f'²)计算是关键,先求f'

⑤面积:|f−g|绝对值 → 必须确认上下关系反转的交点

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两曲线间的面积

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