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定积分的应用
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定积分的应用
Applications of Definite Integrals
旋转体的体积
将函数绕x轴旋转所形成旋转体的截面与体积
旋转角
270°
函数选择
0
🍩 叠起圆盘
①将曲线绕x轴旋转形成立体
②每个x位置圆盘的半径 = f(x)
③圆盘面积 = π[f(x)]² → 积分后即为体积
体积公式
圆盘法
V = π ∫
a
b
[f(x)]² dx
绕x轴旋转:对半径f(x)的圆盘面积积分
垫圈法
V = π ∫
a
b
([R(x)]² − [r(x)]²) dx
两函数之间区域旋转:外半径R、内半径r
柱壳法
V = 2π ∫
a
b
x · f(x) dx
绕y轴旋转:对半径x、高f(x)的圆柱壳积分
💡 圆盘 vs 柱壳
①绕x轴 + 对x积分 → 圆盘法
②绕y轴 + 对x积分 → 柱壳法
③两者都行时选计算简单的
弧长
曲线y=x^(3/2)的弧长:连接小直线段ds
上限 t
3
📏 沿曲线测量
①将曲线切得极短即为直线段(ds)
②ds = √(dx² + dy²) — 勾股定理!
③将这些段全部相加(积分)即为弧长
弧长公式
L = ∫
a
b
√(1 + [f'(x)]²) dx
积分ds = √(1 + (dy/dx)²) dx
面积与速度·距离
两曲线之间的面积
S = ∫
a
b
|f(x) − g(x)| dx
对(上方函数 − 下方函数)的绝对值积分
速度与距离
距离 = ∫
a
b
|v(t)| dt, 位移 = ∫
a
b
v(t) dt
|v|的积分 = 总移动距离、v的积分 = 位移(带符号)
🚗 积分的物理意义
①对速度v(t)积分 → 移动距离
②对加速度a(t)积分 → 速度
③积分是'累加' — 累加瞬间即为整体
总结
定积分应用核心3公式
V = π∫[f(x)]²dx, L = ∫√(1+[f']²)dx, S = ∫|f−g|dx
旋转体体积、弧长、两曲线之间的面积
🎯 考试重点
①圆盘法:V = π∫[f(x)]²dx — 绕x轴旋转基本
②垫圈法:两函数 → 注意[R²−r²]差
③柱壳法:2π∫x·f(x)dx — 绕y轴旋转有利
④弧长:√(1+f'²)计算是关键,先求f'
⑤面积:|f−g|绝对值 → 必须确认上下关系反转的交点
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