定积分与无穷级数

Definite Integrals & Series

想求曲线下方的面积时，第一步是把区间细细切开，用许多薄薄的矩形填满，然后把它们全部相加。矩形用得越多，锯齿状的阶梯就越紧贴曲线，把个数增到无穷的极限正好就是定积分。所以把和式里的k/n换成x、前面的1/n换成dx，就能把复杂的极限收成一行积分。在下方增大矩形个数n，亲眼看看它们的总面积如何逼近定积分的值1/3。

细分相加即得面积

矩形个数 n6

👀 用眼睛看

①将区间 n 等分，把所有矩形面积相加

②n 越大，阶梯越贴合曲线

③极限下该和恰为定积分(面积)— 这就是分割求和法

分割求和法

分割求和法的核心

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ f(kn) = ∫₀¹ f(x) dx

1/n 是宽(Δx)，k/n 是位置(x)— 和的极限即定积分

一般区间 [a,b]

lim_n→∞ ∑_k=1ⁿ f(a + (b−a)kn)·b−an = ∫_a^b f(x) dx

宽 (b−a)/n、位置 a+(b−a)k/n 的矩形之和

把 lim 和化为定积分

🔁 替换规则

①把 k/n 换成 x

②把 1/n 换成 dx

③k=1~n 的和化为 0~1 的积分

④再复杂的极限和也用此规则化为一行定积分

直接求一求

例题 1

求 lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ kn。

把 k/n 换成 x，1/n 换成 dx。

= ∫₀¹ x dx

计算定积分。

= [x²2]₀¹ = 12

▸ 1/2

把和中的 k/n 视为变量 x、前面的 1/n 视为 dx 即可。

例题 2

求 lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ (kn)²。

用同一规则化为定积分。

= ∫₀¹ x² dx

计算得

= [x³3]₀¹ = 13

▸ 1/3

(k/n)² 即 x²，1/n 即 dx — 有幂次规则不变。

总结

核心结论

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ f(kn) = ∫₀¹ f(x) dx

无穷多个矩形之和 = 定积分(面积)

2020 修能数学(微积分)类题改编

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ √(k/n) 的值为?

①1/2

②2/3

③3/4

④1

⑤发散

▸ ② 2/3

把 k/n→x、1/n→dx 即得定积分。

= ∫₀¹ √x dx

积分 x^1/2。

= [23 x^3/2]₀¹ = 23

🎯 考试要点

①见到 1/n·Σf(k/n) 立即写 ∫₀¹f(x)dx

②k/n→x、1/n→dx 替换是核心

③含根号幂次规则不变

④一般区间宽 (b−a)/n·位置 a+(b−a)k/n

⑤Σ 前若无 1/n 则非分割求和法