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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 定积分与无穷级数

求曲线下方的面积，先把区间分得很细，用细长方形填满，再全部加起来。 长方形用得越多，凹凸不平的台阶就越贴近曲线，把个数无限增加时的极限就是定积分。 所以把和式中的 k/n 换成 x、把前面的 1/n 换成 dx，复杂的极限就化成了一个积分。 在图中增加长方形的个数 n，它们的和会趋近于定积分的值1/3。

细分求和得面积

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👀 从图中读出什么
①把 [0, 1] 分成 n 等份，把长方形的面积全部相加
②用右端点的高度，所以和总比1/3略大
③n 越大，台阶越贴近曲线，和越接近1/3
④这种求面积的方法叫作分割求和（定积分的定义）

分割求和法

关键公式
limn→∞ 1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
1/n 是宽度（Δx），k/n 是横向位置（x），和的极限就是定积分
一般区间 [a, b]
limn→∞ ∑k=1n f(a + (b−a)kn)·b−an = ∫ab f(x) dx
宽为 (b − a)/n、位置为 a + (b − a)k/n 的长方形之和

把和的极限化为定积分

🔁 替换规则
①把 k/n 换成 x
②把 1/n 换成 dx
③从 k = 1 到 n 的和变成从0到1的积分
④区间不是 [0, 1] 时，宽取 (b − a)/n，位置取 a + (b − a)k/n

用例题检验

例题 1
求 limn→∞ 1n ∑k=1n kn。
1
把 k/n 换成 x，1/n 换成 dx。
= ∫01 x dx
2
计算定积分。
= [x22]01 = 12
▸ 1/2
它是宽1/n、高 k/n 的长方形之和，所以等于 y = x 下方从0到1的三角形面积1/2。
例题 2
求 limn→∞ 1n ∑k=1n (kn)2。
1
按同样的规则化为定积分。
= ∫01 x2 dx
2
计算定积分。
= [x33]01 = 13
▸ 1/3
(k/n)² 变成 x²，1/n 变成 dx。图中画的正是这个和，n 越大越接近1/3。

总结

要点
limn→∞ 1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
无穷多个长方形之和 = 定积分（面积）
2020 韩国高考数学（微积分）类题改编
limn→∞ 1n ∑k=1n √(k/n) 的值为?
①1/2
②2/3
③3/4
④1
⑤发散
▸ ② 2/3
1
把 k/n 换成 x、1/n 换成 dx，就化成定积分。
= ∫01 √x dx
2
对 √x = x1/2 积分。
= [23 x3/2]01 = 23
🎯 考试要点
①看到 (1/n) Σ f(k/n) 的形式，就化为 f(x) 从0到1的定积分
②关键是 k/n → x、1/n → dx
③含根号或乘方时规则相同
④一般区间取宽 (b − a)/n、位置 a + (b − a)k/n
⑤只有区间长度为1时，1/n 才能换成 dx
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两曲线间的面积

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