两曲线间的面积

Area Between Curves

两条曲线之间夹住的面积，其实比想象中简单。用上方的曲线减去下方的曲线，再对这个差积分，得到的就是两曲线之间的面积。所以真正要做的是先找到两曲线相交的交点，把它们当作积分区间的两端，再确认区间内谁在上方就行。在下方拖动右端b，看看y=x与y=x²之间的面积如何一路填满到1/6。

上曲线减去下曲线

右端 b1

👀 用眼睛看

①两曲线间的面积是(上曲线 − 下曲线)的积分

②在 [0,1] 上 y=x 在上，y=x² 在下

③把 b 增到 1，其间面积填满为 1/6

面积公式

两曲线间的面积

S = ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx (f ≥ g)

a, b 为两曲线交点的 x 坐标，f 为上方、g 为下方曲线

先求交点

积分区间 = 交点

f(x) = g(x)

联立两式所得 x 值即为积分两端 a, b

直接求一求

例题 1

求曲线 y=x 与 y=x² 围成部分的面积。

求交点 — 联立两式。

x = x² ⇒ x = 0, 1

在 [0,1] 上 x 在上方，故积分 (x − x²)。

S = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²2 − x³3]₀¹ = 16

▸ 1/6

在区间内代入一点确认谁在上，可避免符号错误。

例题 2

求曲线 y=x² 与直线 y=2x 围成部分的面积。

求交点。

x² = 2x ⇒ x = 0, 2

在 [0,2] 上直线 2x 在上方，故积分 (2x − x²)。

S = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³3]₀² = 43

▸ 4/3

曲线与直线问题(上 − 下)原则也相同。

总结

核心策略

S = ∫_a^b (上 − 下) dx, a·b 为交点

由交点定区间，上方减下方再积分

2022 教育厅学力评价数学类题改编

曲线 y=x²−2x 与 x 轴围成部分的面积为?

①2/3

②1

③4/3

④2

⑤8/3

▸ ③ 4/3

求与 x 轴(y=0)的交点。

x² − 2x = 0 ⇒ x = 0, 2

在 [0,2] 上曲线在轴下方，故积分 (0 − (x²−2x))。

S = ∫₀² (2x − x²) dx = 43

🎯 考试要点

①面积 = ∫(上 − 下)dx

②积分区间必为交点

③曲线在轴下方则积分 (0 − 曲线) = −曲线

④上下中途互换则分区间

⑤可用绝对值一次写出，但需逐段确认符号