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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 两曲线间的面积

求两条曲线之间所夹的面积，道理比想象的简单。 用上方的曲线减去下方的曲线，再对这个差积分，得到的就是两曲线之间的面积。 所以先求出两条曲线的交点作为积分区间的两端，再确认在这个区间里哪条曲线在上方即可。 在图中移动右端 b，y = x 与 y = x² 之间的面积会在 b = 1 时增加到1/6。

上方曲线减去下方曲线

1
👀 从图中读出什么
①两曲线之间的面积是（上方曲线 − 下方曲线）的积分
②在 0 ≤ x ≤ 1 上，y = x 在上，y = x² 在下
③把 b 移到1，面积就是 1/6 ≈ 0.1667
④x > 1 时 y = x² 跑到上方，上下位置互换

面积公式

两曲线之间的面积
S = ∫ab (f(x) − g(x)) dx (f ≥ g)
a、b 是两曲线交点的横坐标，f 是上方曲线，g 是下方曲线

先求交点

积分区间由交点确定
f(x) = g(x)
令两个式子相等解出的 x 值，就是积分的两端 a、b

用例题检验

例题 1
求曲线 y=x 与 y=x² 围成部分的面积。
1
令两个式子相等，求出交点。
x = x2 ⇒ x = 0, 1
2
在 0 ≤ x ≤ 1 上 y = x 在上方，所以对 x − x² 积分。
S = ∫01 (x − x2) dx = [x22 − x33]01 = 16
▸ 1/6
代入 x = 1/2，x = 0.5 大于 x² = 0.25，所以 y = x 在上方。只要代入一个点，就不会弄错相减的顺序。
例题 2
求曲线 y=x² 与直线 y=2x 围成部分的面积。
1
令两个式子相等，求出交点。
x2 = 2x ⇒ x = 0, 2
2
在 0 ≤ x ≤ 2 上直线 y = 2x 在上方，所以对 2x − x² 积分。
S = ∫02 (2x − x2) dx = [x2 − x33]02 = 43
▸ 4/3
曲线与直线之间，也同样是用上方减去下方再积分。

总结

解题策略
S = ∫ab (上 − 下) dx, a·b 为交点
用交点确定区间，再用上方减去下方积分
2022 教育厅学力评价数学类题改编
曲线 y=x²−2x 与 x 轴围成部分的面积为？
①2/3
②1
③4/3
④2
⑤8/3
▸ ③ 4/3
1
求曲线与 x 轴（y = 0）的交点。
x2 − 2x = 0 ⇒ x = 0, 2
2
在 0 ≤ x ≤ 2 上曲线在 x 轴下方，所以对 0 − (x² − 2x) 积分。
S = ∫02 (2x − x2) dx = 43
🎯 考试要点
①面积就是对（上 − 下）积分
②积分区间的两端取在交点处
③曲线在 x 轴下方时，对（0 − 曲线）积分
④上下位置中途改变时，在该点分开区间
⑤即使用绝对值合写，计算时也要逐段确认符号
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