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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 导数的应用

看导数，就能知道函数在哪里上升、在哪里下降、又在哪里转向。 斜率为0的地方是峰顶（极大值）或谷底（极小值）的候选点，再用二阶导数的符号区分两者。 用这个想法，还能解决最优化问题，比如求面积或成本的最大值、最小值。 在第一幅图中改变 a，极大值点和极小值点随之移动；在第二幅图中改变宽，可以看到周长为20的长方形在宽为5的正方形时面积最大。

函数的增减与极值

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👀 从图中读出什么
①金色曲线是 f(x)，蓝色虚线是 f'(x)
②在 f'(x) > 0 的区间 f 递增，在 f'(x) < 0 的区间递减
③红点位于使 f'(x) = 0 的 x = ±√(a/3) 处
④a = 0 时 f' ≥ 0，没有极值

极值的判定

用导数的符号判定
f'(c) = 0 且 f' 由 + → −：极大、− → +：极小
根据 f' 符号的变化方向区分极大与极小
用二阶导数判定
f'(c) = 0 时 f''(c) > 0 → 极小、f''(c) < 0 → 极大
由 f''(c) 的符号看曲线的凹凸，从而确定极值
🏔️ 峰顶与谷底
①极大值点是峰顶，附近曲线向上凸（f'' < 0）
②极小值点是谷底，曲线向下凸（f'' > 0）
③f''(c) = 0 时这种方法无法判定，要另外看 f' 的符号

最优化问题

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📐 最优化的步骤
①把要求的量写成函数：长为 10 − x，所以 A(x) = x(10 − x)
②求导并令其为0：由 A'(x) = 10 − 2x = 0 得 x = 5
③判定：A''(5) = −2 < 0，所以是极大值
④最大值是 A(5) = 25，此时长方形是正方形

切线与近似值

切线方程
y − f(a) = f'(a)(x − a)
x = a 处的切线斜率为 f'(a)，经过点 (a, f(a))
一次近似
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)
在 a 附近可以用切线来估计函数值
💡 用切线估计
①用 √4 处的切线估计 √4.01，得 2 + (1/4) × 0.01 = 2.0025
②切线是在该点附近最接近函数的直线
③再进一步，就是同时使用二次、三次项的近似

用例题巩固

例题 1
求函数 f(x) = x3 − 3x 的极值。
1
求出使 f'(x) = 0 的点，作为极值的候选点。
f'(x) = 3x2 − 3 = 0 ⇒ x = ±1
2
用二阶导数 f''(x) = 6x 的符号判定。
f''(−1) < 0 ⇒ 极大 2, f''(1) > 0 ⇒ 极小 −2
▸ 极大 2 (x = −1), 极小 −2 (x = 1)
f''(−1) = −6 < 0，所以 x = −1 是峰顶；f''(1) = 6 > 0，所以 x = 1 是谷底。在第一幅图中取 a = 3 就是这条曲线。
例题 2
求曲线 y = x3 − 2x 上点 (1, −1) 处的切线方程。
1
求切线的斜率 f'(1)。
f'(x) = 3x2 − 2, f'(1) = 1
2
代入切线方程 y − f(a) = f'(a)(x − a)。
y − (−1) = 1·(x − 1) ⇒ y = x − 2
▸ y = x − 2
只要知道斜率 f'(a) 和切点 (a, f(a))，就能直接写出切线方程。

总结

导数应用核心
f' = 0 → 极值候选、f'' > 0 → 极小、f'' < 0 → 极大
用导数找出候选点，再用二阶导数或符号变化来判定
韩国高考类题改编
在 0 ≤ x ≤ 3 上，函数 f(x) = x3 − 3x2 + 4 的最大值是？
①0
②2
③4
④6
⑤8
▸ ③ 4
1
求出使 f'(x) = 0 的点。
f'(x) = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, 2
2
比较闭区间两端点和候选点处的函数值。
f(0)=4, f(2)=0, f(3)=4 ⇒ 最大值 4
🎯 考试要点
①单调性表：逐个区间整理 f' 的符号
②极值用 f' 的符号变化或 f'' 的符号判定
③最优化：把量写成函数 → 求导 → 求零点 → 判定
④切线方程为 y − f(a) = f'(a)(x − a)
⑤拐点是 f'' = 0 且 f'' 变号的点
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