微积分›导数的应用

导数的应用

Applications of Derivatives

函数的增减与极值
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👀 直观观察
①金色为 f(x)、蓝虚线为 f'(x)
②f'(x) > 0 时 f 递增
③f'(x) < 0 时 f 递减
④f'(x) = 0 时（红点）为极大或极小候选
极值判定法
一阶导数判定
f'(c) = 0 且 f' 由 + → −：极大、− → +：极小
由 f' 的符号变化判定
二阶导数判定
f'(c) = 0 时 f''(c) > 0 → 极小、f''(c) < 0 → 极大
由 f'' 的符号（凹凸）判定
🏔️ 山与谷
①极大 = 山顶（凸：f'' < 0）
②极小 = 谷底（凹：f'' > 0）
③拐点：凹凸切换处（f'' = 0）
最优化问题
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📐 最优化步骤
①目标函数：A(x) = x(10−x)
②求导：A'(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5
③二阶判定：A''(5) = −2 < 0 → 极大
④最大值：A(5) = 25
切线与近似
切线方程
y − f(a) = f'(a)(x − a)
x = a 处的切线：斜率 f'(a)，过 (a, f(a))
线性近似
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)
在 a 附近用切线近似函数
💡 近似的威力
①√(4.01) ≈ √4 + (1/2√4)(0.01) = 2.0025
②切线为「该点局部最佳直线近似」
③后续推广为泰勒级数
总结
导数应用核心
f' = 0 → 极值候选、f'' > 0 → 极小、f'' < 0 → 极大
一阶找候选、二阶判分类
🎯 考试要点
①增减表：把 f' 的符号变化分段整理
②选择一阶或二阶判定
③最优化：目标 → 求导 → 临界点 → 判定
④切线：y − f(a) = f'(a)(x − a)
⑤拐点：f'' = 0 且符号变化