导数的应用

Applications of Derivatives

导数其实是一种工具，用来发现函数在哪里上升、在哪里下降、又在哪里转向。斜率为 0 的地方就是山顶（极大）或谷底（极小）的候选，再用二阶导数的符号把两者区分开。借助这个思路，还能解决最优化问题，去寻找面积或成本这类希望取到最大或最小的值。拖动系数 a 滑块，观察极大与极小如何移动，改变宽度，看看长方形面积何时达到最大。

函数的增减与极值

系数 a3

👀 直观观察

①金色为 f(x)、蓝虚线为 f'(x)

②f'(x) > 0 时 f 递增

③f'(x) < 0 时 f 递减

④f'(x) = 0 时（红点）为极大或极小候选

极值判定法

一阶导数判定

f'(c) = 0 且 f' 由 + → −：极大、− → +：极小

由 f' 的符号变化判定

二阶导数判定

f'(c) = 0 时 f''(c) > 0 → 极小、f''(c) < 0 → 极大

由 f'' 的符号（凹凸）判定

🏔️ 山与谷

①极大 = 山顶（凸：f'' < 0）

②极小 = 谷底（凹：f'' > 0）

③拐点：凹凸切换处（f'' = 0）

最优化问题

宽 x3

📐 最优化步骤

①目标函数：A(x) = x(10−x)

②求导：A'(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5

③二阶判定：A''(5) = −2 < 0 → 极大

④最大值：A(5) = 25

切线与近似

切线方程

y − f(a) = f'(a)(x − a)

x = a 处的切线：斜率 f'(a)，过 (a, f(a))

线性近似

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)

在 a 附近用切线近似函数

💡 近似的威力

①√(4.01) ≈ √4 + (1/2√4)(0.01) = 2.0025

②切线为「该点局部最佳直线近似」

③后续推广为泰勒级数

例题演练

例题 1

求函数 f(x) = x³ − 3x 的极值。

求 f′(x) = 0 的点（极值候选）。

f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1

用二阶导数 f″(x) = 6x 的符号判定。

f''(−1) < 0 ⇒ 极大 2, f''(1) > 0 ⇒ 极小 −2

▸ 极大 2 (x = −1), 极小 −2 (x = 1)

用 f′ = 0 找候选，再用 f″ 的符号判定极大（−）与极小（+）。

例题 2

求曲线 y = x³ − 2x 上点 (1, −1) 处的切线方程。

求切线斜率 f′(1)。

f'(x) = 3x² − 2, f'(1) = 1

代入切线公式 y − f(a) = f'(a)(x − a)。

y − (−1) = 1·(x − 1) ⇒ y = x − 2

▸ y = x − 2

切线只需斜率 f′(a) 与切点 (a, f(a))，用点斜式即可写出。

总结

导数应用核心

f' = 0 → 极值候选、f'' > 0 → 极小、f'' < 0 → 极大

一阶找候选、二阶判分类

高考类型变式

在 0 ≤ x ≤ 3 上，函数 f(x) = x³ − 3x² + 4 的最大值是？

①0

②2

③4

④6

⑤8

▸ ③ 4

求 f′(x) = 0 的临界点。

f'(x) = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, 2

比较闭区间端点与临界点处的函数值。

f(0)=4, f(2)=0, f(3)=4 ⇒ 最大值 4

🎯 考试要点

①增减表：把 f' 的符号变化分段整理

②选择一阶或二阶判定

③最优化：目标 → 求导 → 临界点 → 判定

④切线：y − f(a) = f'(a)(x − a)

⑤拐点：f'' = 0 且符号变化