대칭분: 불평형을 평형 셋으로 가른다

I_a를 끌어 세 성분을 보라

왼쪽 세 전류 가운데 I_a의 끝을 끌어 균형을 깨라. 오른쪽 세 막대가 정상분 I_1, 역상분 I_2, 영상분 I_0의 크기다. 균형이 잡히면 정상분만 있고 역상·영상은 0이지만, 어긋낼수록 둘이 자라난다. 영상분은 A5에서 본 세 전류 합의 1/3이다.

세 평형 집합의 합

대칭분 정리에 따르면 어떤 세 페이저도 세 평형 집합의 합으로 유일하게 쓸 수 있다. 정상분은 원래와 같은 방향으로 도는 평형 3상(a-b-c), 역상분은 반대 방향으로 도는 평형 3상(a-c-b), 영상분은 셋이 크기·위상이 모두 같은 동상 집합이다. 각 상은 이 셋의 합이다. I_a = I_1 + I_2 + I_0, I_b와 I_c도 연산자 a로 회전시킨 같은 셋의 합이다.

왜 가르면 쉬워지는가

평형 계통에서는 정상·역상·영상 회로가 서로 간섭하지 않고 분리된다. 그래서 발전기와 선로마다 정상·역상·영상 임피던스를 따로 두고, 불평형 고장은 이 세 회로를 고장 종류에 맞게 연결해 푼다. 한 개의 어려운 불평형 문제가 세 개의 익숙한 평형 문제로 갈라지는 것이다. 정상 운전에는 정상분만 흐르고, 역상은 발전기를 과열시키며 영상은 보호계전기가 지락을 감지하는 신호가 된다.

영상분 · A5가 돌아오다

영상분 I_0 = (I_a + I_b + I_c)/3은 A5에서 본 중성선 잔차의 바로 1/3이다. 세 영상 전류는 크기와 위상이 같아 서로 지워지지 않고 합쳐져 중성선이나 대지로 흐른다. 그래서 영상 전류가 흐르려면 중성점 접지 같은 귀로가 있어야 하고, 귀로가 없는 Δ 결선에서는 영상 전류가 외부로 나가지 못한다. 평형일 때 0이던 이 영상분이, 한 상이 땅에 닿는 지락 고장에서 솟아올라 보호의 단서가 된다.

첫 화면으로 돌아가서

I_a를 균형 위치에 두면 역상·영상 막대가 0으로 사라지고 정상분만 남았으며, 끌어낼수록 역상과 영상이 함께 자랐다. 불평형이란 결국 정상분 위에 역상분과 영상분이 얼마나 얹혔느냐의 문제다. 그 영상분은 A5에서 중성선으로 새어 나가던 잔차와 같은 양이다. 불평형한 세 상을 이렇게 평형한 세 집합으로 갈라 두면, 다음 유닛에서 온갖 고장을 익숙한 평형 회로의 연결로 풀 수 있다.

세 시퀀스 회로를 손에 쥐었으니, 다음 유닛(PW-D3)은 고장 종류와 고장전류를 본다. 3상 단락은 정상분 회로 하나로, 1선 지락은 정상·역상·영상을 직렬로, 선간 단락은 정상·역상을 맞물려: 고장의 종류마다 세 시퀀스 회로를 다르게 연결하면 고장전류가 나온다. 평형 고장이 가장 큰 전류를 낼 때도, 가장 흔한 1선 지락이 영상분으로 드러날 때도 같은 도구로 푼다.