대칭분: 불평형을 평형 셋으로 가른다

I_a를 끌며 세 성분 읽기

왼쪽 세 전류 가운데 I_b와 I_c는 평형 자리에 고정되어 있고, 끝을 끌 수 있는 것은 I_a뿐이에요. 오른쪽 세 막대는 위에서부터 정상분 I_1, 역상분 I_2, 영상분 I_0의 크기다. I_a의 끝이 단위원과 가로축이 만나는 오른쪽 점에 놓여 균형이 맞으면 정상분만 남고 역상과 영상은 0이 되며, I_a만 움직이는 이 그림에서는 균형에서 벗어나는 순간부터 아래 두 막대가 언제나 같은 길이로 함께 자란다. 영상분은 A5에서 본 세 전류 합의 1/3이에요.

세 평형 집합의 합

대칭분 정리에 따르면 세 페이저가 어떻게 생겼든 평형 집합 셋의 합으로 단 한 가지 방식으로 쓸 수 있다. 정상분은 상순이 원래 계통과 같은 평형 삼상(a-b-c)이고, 역상분은 상순이 거꾸로인 평형 삼상(a-c-b)이며, 영상분은 세 페이저의 크기와 위상이 모두 같은 동상 집합이에요. 그래서 I_a = I_1 + I_2 + I_0이고, I_b와 I_c도 같은 세 성분을 연산자 a(1∠120°)로 돌려 더한 것이다.

왜 나누면 쉬워지는가

평형 계통에서는 정상·역상·영상 회로가 서로 간섭하지 않고 따로 떨어진다. 그래서 발전기와 선로마다 정상·역상·영상 임피던스를 따로 정해 두고, 불평형 고장이 나면 이 세 회로를 고장 종류에 맞게 이어서 푼다. 어려운 불평형 문제 하나가 익숙한 평형 문제 셋으로 갈라지는 셈이에요. 평소 운전에서는 정상분만 흐르고, 역상분은 발전기 회전자를 과열시키며, 영상분은 보호계전기가 지락을 알아차리는 신호가 된다.

영상분 · A5의 중성선 전류

영상분 I_0 = (I_a + I_b + I_c)/3은 A5에서 본 중성선 전류의 꼭 1/3이다. 세 영상 전류는 크기와 위상이 같아서 서로 지워지지 않고 그대로 더해져 중성선이나 대지로 흘러요. 그러려면 중성점 접지 같은 돌아올 길이 있어야 하므로, 중성점을 접지하지 않은 Y 결선이나 Δ 결선의 선로에는 영상 전류가 흐르지 못한다(Δ 결선 안에서는 고리를 따라 돌 수 있다). 평형일 때 0이던 이 영상분이 한 상이 땅에 닿는 지락 고장에서 솟아올라 보호의 단서가 된다.

첫 화면으로 돌아가서

처음 화면에서 I_a를 균형 자리에 두면 역상과 영상 막대가 0으로 줄어 정상분만 남았고, 끌어낼수록 두 막대가 같은 길이로 함께 자랐어요. 불평형이란 결국 정상분 위에 역상분과 영상분이 얼마나 얹혔느냐의 문제다. 그중 영상분은 A5에서 중성선으로 흘러 나가던 전류를 세 상에 똑같이 나눈 몫이고, 불평형한 세 상을 이렇게 평형한 세 집합으로 갈라 두면 다음 유닛에서 온갖 고장을 익숙한 평형 회로의 연결로 풀 수 있다.

세 시퀀스 회로를 손에 넣었으니 다음 유닛(PW-D3)에서는 고장 종류와 고장전류를 다룬다. 삼상 단락은 정상분 회로 하나로, 선 하나가 땅에 닿는 지락은 정상·역상·영상 회로를 직렬로, 선간 단락은 정상·역상 회로를 병렬로 이어 풀어요. 고장마다 세 회로를 잇는 방식만 다를 뿐이라, 대개 가장 큰 전류를 내는 삼상 단락에도, 영상분으로 드러나는 가장 흔한 지락 고장에도 같은 도구가 통한다.