s-평면 극점과 안정성
극점이 허수축의 어느 쪽에 있는가
왼쪽은 극점 한 쌍을 찍은 복소 평면이고, 오른쪽은 그 극점이 만드는 시간 응답이다. 극점의 실수부 σ를 바꾸면, 허수축 왼쪽에서는 응답이 출렁이며 점점 잦아들고 오른쪽에서는 걷잡을 수 없이 커져요. 안정과 불안정을 가르는 경계인 허수축 σ = 0을 찾는다.
극점이 시간 응답의 설계도다
라플라스 변환에서 미분 d/dt는 s의 곱이 된다. 그래서 회로의 미분방정식이 s에 대한 대수방정식으로 바뀌고, 그 분모를 0으로 만드는 s의 값이 극점이에요. 극점 하나하나, s = σ + jω는 시간 영역에서 e^(σt)cos(ωt)라는 응답 조각을 하나씩 낳는다. 회로 전체의 자연스러운 거동은 이런 조각들을 더한 거예요.
실수부가 사느냐 죽느냐를 정한다
응답 조각 e^(σt)cos(ωt)에서 cos는 −1과 1 사이를 오갈 뿐이고, 크기를 키우거나 줄이는 것은 앞에 붙은 e^(σt)다. σ가 음수면 이 포락선이 0으로 수렴해 응답이 사그라들고(안정), σ가 양수면 포락선이 한없이 커져 응답이 발산해요(불안정). σ가 정확히 0이면 포락선이 1로 일정해, 진동이 줄지도 늘지도 않는 경계 상태가 된다.
허수부는 진동의 빠르기
극점의 허수부 ω는 응답이 얼마나 빨리 출렁이는지를 정한다. ω가 크면 빠르게 진동하고, ω가 0이면 진동 없이 지수함수 모양으로만 변해요. 그래서 극점 한 쌍의 위치 (σ, ω)만 보면 그 회로가 안정한지, 곧 허수축 왼쪽에 있는지와 얼마나 출렁이는지를 한눈에 읽을 수 있다. 이 그림은 ω를 6 rad/s로 고정하고 σ만 움직여요. 정상상태의 jω 응답은 극점을 허수축 위로 가져간 특수한 경우다.
첫 화면으로 돌아가서
극점을 왼쪽에 두자 시간 응답은 출렁이면서도 점점 잦아들었고, 오른쪽으로 옮기자 같은 진동이 걷잡을 수 없이 커졌다. 허수축 σ = 0에서는 진동이 줄지도 늘지도 않는 경계였어요. 회로가 안정한가라는 큰 질문이 극점이 평면의 어느 쪽에 있느냐는 한 가지로 압축된 셈이에요.