CR · 과도현상

RL 과도와 시정수

인덕터에 전압을 걸어도 전류가 단숨에 흐르지 않고 곡선을 그리며 천천히 올라선다. 커패시터 전압이 그랬듯, 이번엔 전류의 그 느림을 한 숫자, 시정수 τ로 재고 다루는 법을 익힌다.

한 시정수에 63%를 메운다

시간 t를 0에서부터 밀어 보라. 인덕터 전류가 최종값의 63%에 닿는 순간을 찾으면, 그 시각이 바로 시정수 τ다.

시간 tt = 0.6 ms

인덕터 전류 i

i = 0.52 A

26% 최종값의 (τ = 2 ms)

막 시작

왜 곡선인가

인덕터는 전류의 변화를 거스른다. 전원이 전류를 밀어 올리려 하면 인덕터가 di/dt에 비례하는 역기전력으로 맞선다. 처음엔 전류가 0이라 전원 전압이 거의 다 인덕터에 걸려 전류를 빠르게 밀어 올리지만, 전류가 최종값 I = V/R에 가까워질수록 저항이 가져가는 전압이 늘고 인덕터에 걸리는 전압, 곧 di/dt가 줄어 느려진다. 그래서 직선이 아니라 점점 누그러지는 지수곡선이 된다.

시정수 τ = L/R

곡선의 빠르기를 정하는 것은 인덕턴스를 저항으로 나눈 τ = L/R다. 인덕턴스가 크면 전류 변화를 더 세게 거슬러 느리고, 저항이 크면 회로가 더 빨리 가라앉아 빠르다. RC에서는 저항이 분자에 있어 클수록 느렸지만, RL에서는 저항이 분모에 있어 클수록 빠르다는 점이 거울처럼 뒤집힌다. τ는 시간의 단위를 가지며, 한 시정수가 지나면 목표까지 남은 거리의 약 63%가 메워진다. 매 τ마다 남은 거리의 같은 비율을 메우는 것이 지수의 성질이다.

언제 "다 됐다"고 하나

한 시정수에 63%, 두 번이면 86%, 세 번이면 95%까지 오른다. 다섯 시정수가 지나면 99%를 넘어 실용적으로는 다 된 것으로 본다. 그래서 회로가 새 전류 상태에 자리 잡는 시간을 가늠할 때 5τ를 어림잡는다. 이는 RC 과도의 거울이다. 커패시터가 전압의 변화에 저항하며 τ = RC로 차올랐듯, 인덕터는 전류의 변화에 저항하며 τ = L/R로 차오른다. 전류를 끊을 때의 감쇠도 같은 τ를 따른다.

관찰i(t) = I(1 − e^−t/τ)

지수적으로 목표에 다가간다.

고르기τ = ?

시정수는 인덕턴스 나누기 저항.

빈칸t = τ → i = ? I

한 시정수에서 63%.

스스로99% ≈ ? τ

약 다섯 시정수면 거의 끝.

첫 화면으로 돌아가서

시간을 밀자 인덕터 전류는 가파르게 출발해 점점 누그러졌고, 최종값의 63%에 닿은 순간이 바로 한 시정수 τ였다. 그 뒤로도 매 τ마다 남은 거리의 같은 몫을 메우며, 다섯 시정수쯤에서 곡선은 사실상 평평해졌다. τ = L/R라는 한 숫자가 이 곡선의 빠르기 전부를 쥐고 있었다. 커패시터가 RC로 했던 이야기를, 인덕터는 전류로 거울처럼 되풀이한다.

시정수 τ = L/R는 RL 회로가 전류 변화에 반응하는 속도를 정하는, 시간 단위의 한 숫자다. 차오르는 전류는 i(t) = I(1 − e^−t/τ), I = V/R로, 한 시정수 뒤에는 최종값까지 남은 거리의 약 63%가 메워지고, 약 5τ 뒤에는 99%를 넘어 사실상 정착한다. 커패시터가 전압 변화에 저항하듯 인덕터는 전류 변화에 저항하며, 이는 τ = RC인 RC 과도의 거울이다.