CR · 과도현상

RC 과도와 시정수

커패시터에 전압을 걸어도 단숨에 차지 않고, 곡선을 그리며 천천히 목표에 다가간다. 그 느림을 시정수 τ라는 숫자 하나로 재고 다루는 법을 이 유닛에서 익혀요.

한 시정수에 63%를 메운다

금색 곡선은 충전되며 올라가는 커패시터 전압이고, 곡선 위의 점이 지금 시각의 전압이다. 시간 t를 0에서부터 늘려 가며 전압이 최종값의 63%에 닿는 순간을 찾아요. 점선으로 그은 세로선과 만나는 그 시각이 바로 시정수 τ다.

시간 tt = 0.6 ms

커패시터 전압 v

v = 2.6 V

26% 최종값의 (τ = 2 ms)

63%에서 멀다

왜 곡선인가

커패시터 전압이 오르려면 전류가 흘러 들어와야 한다. 그런데 그 전류는 저항을 거쳐 들어오고, 크기는 아직 남은 전압 차이에 비례해요. 그래서 차이가 클 때는 빠르게 차다가 목표에 가까워질수록 느려지고, 그래프는 직선이 아니라 점점 누그러지는 지수곡선이 된다.

시정수 τ = RC

곡선의 빠르기를 정하는 것은 저항과 용량의 곱인 τ = RC다. 저항이 크면 전류가 적게 들어와 느리고, 용량이 크면 채워야 할 그릇이 커서 느리다. τ는 시간의 단위를 가지며, 한 시정수가 지나면 목표까지 남은 거리의 약 63%가 메워져요. 그림의 회로는 τ가 2 ms라 t = 2 ms에서 전압이 10 V의 63%인 6.3 V가 된다. τ가 지날 때마다 남은 거리의 같은 비율을 메운다는 것이 지수함수의 성질이다.

언제 "다 됐다"고 하나

한 시정수에 63%, 두 시정수면 86%, 세 시정수면 95%까지 찬다. 다섯 시정수가 지나면 99% 넘게 차서 실용적으로는 다 찬 것으로 보는데, 그래프 가로축의 오른쪽 끝이 바로 그 지점이에요. 그래서 회로가 새 상태에 자리 잡는 데 걸리는 시간을 어림할 때 5τ를 쓴다. 방전도 같은 τ를 따르되 방향만 거꾸로다.

관찰v(t) = V(1 − e^−t/τ)

지수함수를 따라 목표에 다가간다.

고르기τ = ?

시정수는 저항과 용량의 곱이다.

빈칸t = τ → v = ? V

한 시정수에서 63%.

스스로99% ≈ ? τ

다섯 시정수쯤이면 거의 끝난다.

첫 화면으로 돌아가서

시간을 늘리자 커패시터 전압은 가파르게 출발했다가 점점 누그러졌고, 최종값의 63%에 닿은 순간이 바로 한 시정수 τ였다. 그 뒤로도 τ마다 남은 거리의 같은 몫을 메우며, 다섯 시정수쯤에서 곡선은 사실상 평평해졌어요. τ = RC라는 숫자 하나가 이 곡선의 빠르기를 모두 쥐고 있었던 셈이에요.

시정수 τ = RC는 RC 회로가 변화에 반응하는 빠르기를 정하는, 시간 단위의 숫자 하나다. 충전 전압은 v(t) = V(1 − e^−t/τ)를 따르며, 한 시정수 뒤에는 최종값까지 남은 거리의 약 63%가 메워지고 약 5τ 뒤에는 99% 넘게 차서 사실상 자리를 잡는다. 방전도 같은 τ를 따른다.