페이저: 회전하는 화살표
직각으로 만난 3과 4는 5가 된다
길이 3인 화살표(A1, 기준 0도)에 길이 4인 화살표(A2)를 위상 φ만큼 돌려 끝과 끝을 잇는다. 그 둘을 한 정현파로 합치면 진폭은 두 화살표를 더한 합 화살표의 길이 R이다. φ를 밀어 합 진폭이 정확히 5가 되도록 맞춰라. 그곳이 바로 두 화살표가 직각(90도)으로 만나는 자리다.
정현파 하나가 화살표 하나
정현파 A cos(ωt+φ)는 길이 A, 출발 각도 φ로 일정하게 도는 화살표의 그림자다. 화살표가 ωt만큼 돌 때 그 가로 그림자가 바로 그 시각의 정현파 값이다. 그래서 끊임없이 흔들리는 정현파를, 흔들림은 잊고 길이 A와 위상 φ 두 숫자만으로 적는다. 이것을 페이저 A∠φ라 한다. 같은 주파수면 모두 같은 빠르기로 도니, 서로의 상대 각도만 변치 않고 남는다.
같은 주파수는 화살표로 더한다
같은 주파수의 두 정현파를 더하면 결과도 같은 주파수의 정현파다. 진폭과 위상만 새로 정해지는데, 그 둘은 두 페이저 화살표를 끝과 끝으로 이어 만든 벡터 합이 정확히 알려 준다. 합 화살표의 가로 성분은 A1 + A2 cosφ, 세로 성분은 A2 sinφ이고, 합 진폭은 그 빗변 R = √((A1+A2cosφ)² + (A2sinφ)²) = √(A1² + A2² + 2A1A2 cosφ)다. 삼각함수 항등식을 외울 필요 없이, 그림 한 장이 덧셈을 끝낸다.
직각이면 제곱합의 제곱근
두 화살표가 90도로 만나면 cosφ가 0이라 가운데 항이 사라지고, R = √(A1² + A2²)만 남는다. 직각삼각형의 빗변, 곧 3과 4가 5가 되는 그 관계다. 이 직각 덧셈이 교류 곳곳에 숨어 있다. 임피던스에서 저항 R과 리액턴스 X가 90도로 더해져 |Z| = √(R²+X²)가 되고, 전력에서 유효전력 P와 무효전력 Q가 90도로 더해져 피상전력 S = √(P²+Q²)가 된다. 모두 같은 화살표 그림 한 장이다.
첫 화면으로 돌아가서
위상 φ를 밀자 합 화살표의 길이가 7에서 1까지 변했고, 정확히 5가 된 것은 φ = 90도, 두 화살표가 직각으로 만났을 때였다. 길이 3과 4가 직각이면 빗변이 5, 그 친숙한 직각삼각형이 그대로 정현파의 덧셈이었다. 흔들리는 정현파를 회전 화살표로 보는 한 번의 시점 전환이, 삼각함수 씨름을 화살표 잇기로 바꾼다. 임피던스도 전력 삼각형도 결국 이 그림 한 장에서 나온다.