CR · 되먹임

음의 되먹임과 이득 둔감화

연산증폭기의 가상 단락은 왜 그렇게 잘 들어맞을까. 답은 음의 되먹임에 있다. 엄청나게 큰 날 이득 A를 되먹임으로 깎으면, 폐루프 이득은 증폭기가 아니라 되먹임 회로 β가 정한다. A가 흔들리고 변해도 출력은 끄떡없는 이 이득 둔감화를 익힌다.

날 이득을 키울수록 이득은 1/β에 고정된다

날 이득(개루프 이득) A를 밀어 보라. 음의 되먹임이 걸린 폐루프 이득은 G = A/(1+Aβ)다. 여기서 β는 출력 중 입력으로 되먹이는 몫이다. A가 작으면 G도 작지만, 루프 이득 Aβ가 1보다 훨씬 커지면 G는 A와 무관하게 1/β로 다가가 고정된다. β = 0.1이니 이상 이득은 10이다. A를 키워 폐루프 이득이 이상값 10에 닿게 하라.

날 이득 A (개루프)A = 5

폐루프 이득 G = A/(1+Aβ)

G = 3.34  ·  Aβ = 0.5

1/β에서 멀다

되먹임이 이득을 깎는다

증폭기의 날 이득 A는 엄청나게 크지만, 부품마다 다르고 온도와 주파수에 따라 출렁인다. 그대로 쓰면 못 믿는다. 음의 되먹임은 출력의 일부 β를 입력에서 빼서 되돌린다. 그러면 증폭기가 실제로 보는 입력은 줄어들고, 폐루프 이득은 G = A/(1+Aβ)로 날 이득보다 작아진다. 분모의 Aβ를 루프 이득이라 부르며, 신호가 증폭기와 되먹임 회로를 한 바퀴 돌 때 곱해지는 전체 크기다.

루프 이득이 크면 증폭기가 사라진다

루프 이득 Aβ가 1보다 훨씬 크면, 분모 1+Aβ ≈ Aβ가 되어 G = A/(Aβ) = 1/β로 단순해진다. 폐루프 이득에서 A가 약분돼 사라진 것이다. 그래서 이득은 증폭기의 변덕스러운 A가 아니라, 저항 몇 개로 정밀하게 정한 되먹임 몫 β의 역수가 된다. 비반전 증폭기에서 1/β = 1 + Rf/Rg가 이득이었던 것이 바로 이 결과이고, 가상 단락도 결국 같은 이야기를 회로의 말로 한 것이다.

둔감화가 정밀함을 산다

A가 두 배로 뛰어도 폐루프 이득은 거의 그대로다. 정확히는 G의 상대 변화가 A의 상대 변화의 1/(1+Aβ)로 줄어든다. 루프 이득이 클수록 더 둔감하다. 그래서 우리는 값싸고 거대하지만 부정확한 날 이득을, 음의 되먹임을 통해 작지만 정밀하고 안정한 이득으로 바꾼다. 이상 연산증폭기의 가상 단락이 그토록 잘 들어맞는 까닭도 이것이다. A가 사실상 무한대라 루프 이득이 압도적으로 커서, 폐루프가 1/β에 완전히 고정되기 때문이다. 음의 되먹임은 남아도는 이득을 정밀함과 안정성으로 바꾸는 거래다.

관찰G = A/(1+Aβ)

폐루프 이득의 정의.

고르기Aβ >> 1 → G ≈ ?

루프 이득이 크면 G는 1/β.

빈칸β = 0.1 → 1/β = ?

β의 역수가 이상 이득.

스스로(dG/G)/(dA/A) = ?

큰 루프 이득이 A 변동을 둔감하게.

첫 화면으로 돌아가서

날 이득 A를 밀자 폐루프 이득 G가 처음엔 함께 자랐지만, 루프 이득 Aβ가 1을 넘어서자 G는 더 자라기를 멈추고 이상값 1/β = 10에 다가가 고정됐다(β = 0.1). A를 더 키워도 G는 10 언저리에서 꿈쩍하지 않았다. 폐루프 이득에서 A가 약분돼 사라지고 정밀한 β만 남은 것이다. 거대하지만 못 믿는 날 이득이 음의 되먹임을 거쳐 작지만 믿을 수 있는 이득으로 바뀌었다. 모든 연산증폭기 회로가 가상 단락으로 깔끔히 풀리던 까닭이 바로 이 둔감화다.

음의 되먹임을 건 증폭기의 폐루프 이득은 G = A/(1+Aβ)다. A는 날 이득(개루프), β는 출력 중 입력으로 되먹이는 몫이다. 루프 이득 Aβ가 1보다 훨씬 크면 A가 약분돼 G ≈ 1/β로, 이득이 변덕스러운 증폭기가 아니라 정밀한 되먹임 회로 β로 정해진다. 게다가 A가 변해도 G의 상대 변화는 1/(1+Aβ)로 줄어 둔감해진다. 이 이득 둔감화가 거대하지만 부정확한 날 이득을 작지만 정밀·안정한 이득으로 바꾸며, 이상 op-amp(A→∞)에서 가상 단락이 성립하는 근거다.