고조파 합성과 푸리에
사인을 차례로 더해 구형파를 쌓는다
굵은 선은 지금까지 더한 사인들의 합이고, 흐린 점선은 닮아 가야 할 구형파다. 맨 앞 버튼에서는 기본파 하나뿐이라 굵은 선이 둥근 사인 그대로다. 버튼을 오른쪽으로 옮길수록 더 높은 홀수 고조파가 차례로 더해지니, 합이 점선의 평평한 꼭대기와 가파른 모서리를 얼마나 따라가는지 비교해요.
정수배 주파수만 재료가 된다
주기가 T인 파형을 사인으로 쌓으려면, 더하는 사인도 모두 T마다 처음 모양으로 돌아와야 한다. 그런 사인은 주파수가 기본 주파수의 정수배인 것뿐이라 2배, 3배, 4배 같은 주파수만 재료로 쓸 수 있다. 기본 주파수의 사인을 기본파, 그 정수배를 고조파라 부르는데, 고조파 하나하나의 진폭과 위상을 알맞게 고르면 그 합이 원하는 모양을 그려요. 파형마다 어떤 진폭을 골라야 하는지 구하는 계산이 푸리에 급수다.
구형파에는 홀수 고조파만 들어 있다
구형파는 반 주기만큼 밀면 위아래가 뒤집힌 같은 모양이 된다. 이런 파형에서는 짝수 고조파의 진폭이 모두 0이 되어 홀수 고조파만 남고, n번째 고조파의 진폭은 1/n로 작아진다. 그래서 구형파는 sin(ωt) + (1/3)sin(3ωt) + (1/5)sin(5ωt) + … 꼴로 쓴다. 높은 차수일수록 조금씩만 더해지지만 모서리를 가파르게 세우는 일은 이 작은 항들이 맡아요. 그림에서 차수를 올려도 모서리 바로 옆에는 살짝 튀어 오른 뿔이 남는데, 항을 늘리면 뿔의 폭만 좁아지고 높이는 줄지 않는다. 이것을 깁스 현상이라 한다.
정현파 해석이 모든 주기 신호로 넓어진다
여기서 임피던스와 주파수 응답이 쓸모를 얻는다. 선형 회로가 주파수마다 사인의 크기와 위상을 어떻게 바꾸는지 알면, 아무 입력이나 고조파로 쪼개 하나씩 통과시킨 뒤 다시 더해 출력을 얻는다. 높은 주파수를 깎는 필터에 구형파를 넣으면 높은 고조파가 줄어 모서리가 둥글어지는데, 그림에서 차수를 낮췄을 때의 모양이 그 결과와 닮았다. 사인 하나를 제대로 다룰 줄 알면 주기 신호 전부를 다룰 수 있는 셈이에요.
첫 화면으로 돌아가서
맨 앞 버튼에서 둥근 사인이던 굵은 선은 홀수 고조파가 하나씩 더해질 때마다 꼭대기가 평평해지고 모서리가 가팔라지면서 점선 구형파에 붙어 갔다. 고조파의 진폭은 1/n로 작아졌지만 모서리를 세우는 데는 그 작은 항들이 빠짐없이 필요했어요. 복잡해 보이는 파형도 결국 사인들의 합이라는 사실 덕분에, 사인 하나로 회로를 푸는 도구가 그대로 임의의 주기 신호에 쓰인다.