CR · 비정현파

고조파 합성과 푸리에

회로에 들어오는 신호가 늘 깨끗한 정현파인 것은 아니다. 그래도 정현파만 다루면 충분한 이유가 있다. 어떤 주기 파형이든 정현파 여러 개의 합으로 쪼갤 수 있기 때문이다. 그 합성의 원리를 익힌다.

사인 몇 개를 더해 구형파를 만든다

기본파에 고조파를 하나씩 더해 보라. 처음엔 둥근 사인이지만, 홀수 고조파를 더할수록 합이 점점 평평한 구형파(흐린 선)에 다가간다. 더 많은 고조파를 켜서 구형파에 가깝게 만들어라.

탭으로 고조파 개수 전환.

포함한 고조파

n = 1  (≤ 1)

아직 둥글다

정수배 주파수만 허락된다

주기가 T인 파형을 정현파의 합으로 만들려면, 쓸 수 있는 사인은 같은 주기 T로 딱 맞아떨어지는 것들뿐이다. 곧 기본 주파수의 정수배: 2배, 3배, 4배… 인 주파수만 허락된다. 기본 주파수의 파동을 기본파, 그 정수배를 고조파라 부른다. 각 고조파의 진폭을 알맞게 고르면, 그 합이 원하는 모양을 그린다.

구형파는 홀수 고조파만 쓴다

구형파처럼 위아래로 대칭인 파형은 짝수 고조파가 모두 0이고, 홀수 고조파만 남는다. 게다가 n번째 고조파의 진폭은 1/n로 줄어든다. 그래서 구형파는 sin(ωt) + (1/3)sin(3ωt) + (1/5)sin(5ωt) + …의 꼴이다. 높은 고조파일수록 작게 더해지지만, 모서리를 날카롭게 세우는 데 꼭 필요하다.

정현파 해석이 모든 신호를 덮는 이유

여기에 임피던스와 주파수 응답이 만난다. 회로가 각 주파수의 정현파에 어떻게 반응하는지(이득과 위상)를 알면, 임의의 입력을 고조파로 쪼개 각각 통과시킨 뒤 다시 합치면 출력이 나온다. 필터가 고주파를 깎으면 구형파의 높은 고조파가 줄어 모서리가 둥글어지는 식이다. 그래서 정현파 하나만 제대로 다루면, 사실상 모든 주기 신호를 다루는 셈이다.

관찰f = Σ a_n sin(nωt)

주기 파형은 정현파의 합.

고르기square: n = ?

구형파는 홀수 고조파만.

빈칸a_n ∝ ?

n번째 진폭은 1/n로 줄어든다.

스스로f_n = n · ?

고조파 주파수는 기본의 정수배.

첫 화면으로 돌아가서

기본파 하나일 때는 둥근 사인이었지만, 홀수 고조파를 하나씩 더할수록 합은 평평한 꼭대기와 가파른 모서리를 갖춰 구형파에 다가갔다. 각 고조파는 1/n로 작아지면서도 모양을 다듬는 제 몫을 했다. 어떤 복잡한 파형도 결국 정현파들의 합이라는 사실이, 정현파 하나로 회로를 푸는 모든 도구를 임의의 신호로 확장해 준다.

푸리에 급수는 어떤 주기 파형도 기본파와 정수배 고조파(사인·코사인)의 합으로 나타낼 수 있다는 정리다. 구형파는 홀수 고조파만의 합으로, n번째 진폭이 1/n로 줄어든다: f = (4/π)(sin ωt + ⅓ sin 3ωt + ⅕ sin 5ωt + …). 항을 더할수록 합이 구형파에 수렴한다. 이로써 정현파 해석이 모든 주기 신호로 확장된다.