델타-와이(Δ-Y) 변환
별 한 팔은 균형 삼각형 한 변의 3분의 1
세 변이 R_Δ = 9Ω로 똑같은 균형 삼각형(Δ)과, 세 팔이 R_Y로 똑같은 별(Y)이 같은 세 단자 A, B, C를 공유한다. 두 망이 바깥에서 구별되지 않으려면 어느 두 단자 사이 저항이든 같아야 한다. 삼각형은 단자 사이가 6Ω으로 고정(= 2/3·R_Δ), 별은 2·R_Y다. R_Y를 밀어 별이 삼각형과 똑같아 보이는 값을 찾아라.
직병렬로 안 풀리는 회로
브리지 회로처럼, 어떤 저항도 다른 것과 순수한 직렬이나 병렬이 아닌 배치가 있다. 휘트스톤 브리지가 평형이 아니면 가운데 가지 때문에 직병렬 축약이 딱 막힌다. 이때 세 단자를 공유하는 삼각형(Δ) 묶음을 별(Y) 묶음으로, 또는 거꾸로 바꾸면 막혔던 직병렬 길이 다시 열린다. 두 모습은 바깥 세 단자에서 똑같이 행동하는 한, 회로의 나머지에게는 완전히 같은 부품이다.
단자에서 똑같이 보이게 맞춘다
균형 삼각형에서 두 단자 사이 저항을 재 보자. 한 변 R_Δ가 나머지 두 변이 직렬로 이은 2R_Δ와 병렬이므로, R_Δ ∥ 2R_Δ = (R_Δ·2R_Δ)/(3R_Δ) = (2/3)R_Δ다. 균형 별에서 두 단자 사이는 두 팔이 직렬일 뿐이라 2R_Y다. 두 망이 같아 보이려면 2R_Y = (2/3)R_Δ, 곧 R_Y = R_Δ/3이다. 그래서 9Ω 삼각형은 3Ω 별과 단자에서 구별되지 않는다. 별의 팔이 더 작은 것은, 단자에서 중심까지 한 토막만 거치기 때문이다.
일반식과 거꾸로 가기
변이 제각각인 삼각형도 같은 원리로 별로 바꾼다. 별의 한 팔은, 그 단자에 닿는 삼각형 두 변의 곱을 세 변의 합으로 나눈 값이다. R_a = R_ab·R_ca/(R_ab+R_bc+R_ca). 세 변이 같으면 곱이 R_Δ², 합이 3R_Δ라 R_Δ/3로 되돌아온다. 거꾸로 별을 삼각형으로 펼 때는, 두 팔씩 곱해 더한 것을 마주보는 팔로 나눈다. 평형이 아닌 휘트스톤 브리지의 가운데 삼각형을 이 변환으로 한 번 별로 펴면, 남은 회로가 직병렬로 깔끔히 풀린다.
첫 화면으로 돌아가서
별 팔 R_Y를 밀자 별의 단자 저항 2R_Y가 자랐고, R_Y = 3Ω에서 삼각형의 6Ω과 정확히 맞아 두 망이 단자에서 구별되지 않았다. 균형 삼각형의 한 변 9Ω이 별에서는 3분의 1인 3Ω 팔로 접힌 것이다. 까닭은 단순했다. 삼각형은 단자 사이가 한 변과 두 변의 병렬이라 (2/3)R_Δ, 별은 두 팔의 직렬이라 2R_Y, 둘을 같게 두면 R_Y = R_Δ/3. 이 한 번의 맞바꿈이 직병렬로 막혔던 브리지를 푸는 열쇠다.