대역통과와 대역폭
첨예도가 통과대역의 폭을 정한다
그래프는 공진 주파수 둘레의 대역통과 곡선이고, 음영이 통과대역이다. 첨예도 Q를 키우면 봉우리 양옆이 가팔라지면서 통과대역이 좁아져요. 대역폭 BW가 목표 0.25가 되도록 Q를 맞춘다. 여기서 대역폭은 공진 주파수에 대한 비율로 잰다.
통과대역은 반전력 점으로 정한다
대역통과 필터는 직렬 RLC에서 저항 양단을 출력으로 본 것으로, 공진 주파수 ω_0에서 이득이 최대인 1이 되고 양옆으로 갈수록 떨어진다. 어디까지를 통과대역으로 칠지 정해야 하는데, 관례로는 이득이 최대의 1/√2, 곧 전력으로 절반이 되는 두 주파수까지를 잡아요. 이 두 모서리가 반전력(−3dB) 주파수이고, 그 사이가 통과대역이다.
대역폭은 BW = ω_0/Q
두 반전력 주파수 사이의 간격이 대역폭 BW다. 계산해 보면 BW는 공진 주파수를 첨예도로 나눈 값, 곧 BW = ω_0/Q로 깔끔하게 떨어진다. 첨예도 Q가 크면 봉우리 양옆이 가팔라져 대역폭이 좁아지고, Q가 작으면 봉우리가 펑퍼짐해져 대역폭이 넓어져요. 봉우리 꼭대기의 높이는 Q와 상관없이 그대로이고, 달라지는 것은 폭뿐이다.
Q 하나로 선택성을 설계한다
라디오나 통신 수신기는 원하는 채널 하나만 골라내고 옆 채널은 버려야 한다. 그러려면 채널 폭에 맞는 좁은 대역폭이 필요하고, BW = ω_0/Q에서 거꾸로 필요한 Q를 정해요. 이 그림은 ω_0를 1로 두고 대역폭을 그 비율로 재므로, 목표 0.25는 Q = 4에 해당한다. 다만 Q를 너무 키우면 대역이 지나치게 좁아져 신호의 가장자리 정보까지 잘려 나갈 수 있으므로, 통과시킬 폭과 막을 폭 사이에서 Q를 절충한다.
첫 화면으로 돌아가서
첨예도 Q를 키우자 대역통과 봉우리의 양옆이 가팔라지며 통과대역의 음영이 점점 좁아졌고, BW가 0.25에 닿은 것은 Q = 4에서였다. 봉우리의 모양과 통과시키는 띠의 폭이 BW = ω_0/Q 하나로 묶여 있었던 거예요. 공진이 어디서 일어나는지를 ω_0가 정했다면, 그 둘레를 얼마나 좁게 통과시키는지는 첨예도 Q가 정해요.