CM · 디지털 변조

표본화와 PCM

연속 신호를 일정한 간격으로 표본화하면 곡선은 사라지고 점 몇 개만 남는다. 그래도 표본화 주파수가 신호의 최고 주파수의 두 배를 넘으면 그 점들만으로 원 신호를 그대로 되살릴 수 있어요. 반대로 너무 느리게 뜨면 높은 주파수가 가짜 저주파로 둔갑하는데, 그 까닭도 이 유닛에서 함께 익힌다.

점 몇 개로 원 신호가 되살아나는가

흐린 파란 곡선이 원 신호, 밝은 점이 표본이고, 굵은 곡선은 표본만 보고 되살린 신호다. 표본화 주파수를 올리면 점이 촘촘해지는데, 신호 주파수의 두 배를 넘기 전까지는 굵은 곡선이 표본을 지나는 느린 가짜 사인파로 그려져 빨갛게 보여요. 두 배를 넘는 순간부터는 금색 곡선이 원 신호와 정확히 포개진다.

표본화 주파수 fsfs = 1.14 × f0

오른쪽 값은 표본화 주파수가 신호 주파수의 몇 배인지를 나타낸다. fs = 2 f0가 나이퀴스트 경계예요.

표본율과 나이퀴스트 경계

fs < 2 f0 → 에일리어싱

에일리어싱

표본은 점이다

표본화는 연속 신호를 일정한 시간 간격마다 한 번씩 읽어 그 값만 적어 두는 일이다. 매끄럽던 곡선이 그림의 밝은 점 몇 개로 줄어드는 셈이에요. 그러면 자연스럽게 이런 의문이 든다. 점과 점 사이를 전부 버렸는데 어떻게 원래 곡선을 되찾을 수 있을까.

나이퀴스트: 두 배보다 빠르게

표본화 정리가 그 답이다. 신호의 최고 주파수가 fmax일 때 fs > 2 fmax로 표본화하면 표본만으로 원 신호를 완벽하게 복원할 수 있고, 이 경계값 2 fmax를 나이퀴스트 율이라 부른다. 표본화 주파수가 이에 못 미치면 fmax 부근의 성분이 fs/2 아래 띠 안으로 접혀 들어와, 같은 표본을 지나는 더 느린 사인파처럼 보여요. 이렇게 주파수의 정체가 바뀌는 현상이 에일리어싱이고, 한번 접힌 신호는 표본만 봐서는 원래 주파수를 되찾을 방법이 없다.

관찰fs > 2 fmax

표본화 주파수는 최고 주파수의 두 배를 넘어야 한다.

고르기f_a = | fs ? f0 |

표본화가 모자라면 겉보기 주파수는 접혀 내려온다.

PCM: 양자화와 부호화

표본은 아직 연속적인 값이라 그대로는 비트로 적을 수 없다. PCM은 각 값을 L개의 단계 가운데 가장 가까운 것으로 반올림하는 양자화를 거친 뒤, 각 단계를 n = log₂ L 비트로 부호화해요. 1초에 fs번 표본화하므로 비트율은 R = n fs가 된다. 반올림에서 생긴 오차가 양자화 잡음이며, 단계 수 L을 늘려 비트를 더 쓸수록 작아진다. 표본화로 시간을, 양자화로 값을 잘게 끊어 신호를 숫자로 바꾸는 것이 PCM이다.

빈칸n = log₂ ?

L개 단계를 적으려면 표본마다 log₂ L 비트가 필요하다.

스스로R = ? (bit/s)

비트율은 표본당 비트 수에 표본화 주파수를 곱한 값이다.

첫 화면으로 돌아가서

표본화 주파수를 올리자 점이 촘촘해졌고, 신호 주파수의 두 배를 넘는 순간 되살린 곡선이 원 신호와 포개지며 금색으로 바뀌었다. 그보다 낮을 때는 같은 표본을 지나는 더 느린 사인파가 나타나 빨갛게 둔갑해 있었어요. 표본화에서 기억할 것은 하나다. 점 사이를 버려도 fs > 2 fmax이면 잃는 것이 없고, 이 경계를 어기면 높은 주파수가 가짜 저주파로 접혀 다시는 되돌릴 수 없다.

표본화는 연속 신호를 표본화 주파수 fs로 일정한 간격마다 읽는 일이다. 표본화 정리에 따르면 fs > 2 fmax일 때 표본만으로 원 신호를 완벽히 복원할 수 있고, 그 경계 2 fmax를 나이퀴스트 율이라 한다. 표본화 주파수가 모자라면 높은 주파수가 fs/2 아래로 접혀 에일리어싱이 생긴다. PCM은 각 표본을 L = 2ⁿ 단계로 양자화해 n = log₂ L 비트로 부호화하며, 비트율은 R = n fs다.

다음 유닛에서

이제 메시지는 비트의 흐름이 됐다. 다음 과제는 이 비트로 반송파를 어떻게 흔드느냐예요. 비트에 따라 반송파 진폭을 켜고 끄면 ASK, 주파수를 두 값 사이에서 바꾸면 FSK, 위상을 뒤집으면 PSK가 된다. 다음 유닛에서는 디지털 변조의 이 세 갈래를 한자리에 놓고 비교한다.