CM · 디지털 변조

표본화와 PCM

연속 신호를 일정 간격으로 표본하면 점 몇 개만 남는다. 그런데도 표본화 주파수가 최고 주파수의 두 배를 넘으면 원 신호를 그대로 되살릴 수 있다. 너무 느리게 뜨면 높은 주파수가 가짜 저주파로 둔갑하는 이유를 익힌다.

표본만으로 원 신호가 되살아나는가

표본화 주파수 fs를 키우고 줄여 보라. fs가 신호 주파수의 두 배를 넘으면 복원(금색)이 원 신호와 겹치고, 못 미치면 표본을 지나는 가짜 저주파(빨강)로 접혀 내려온다.

표본화 주파수 fsfs = 1.14 × f0

슬라이더로 표본율을 쓸어 보라. fs = 2 f0가 경계(나이퀴스트)다.

표본율과 나이퀴스트 경계

fs < 2 f0 → 에일리어싱

에일리어싱

표본은 점이다

표본화는 연속 신호를 일정한 시간 간격마다 한 번씩 읽어 값을 적는 일이다. 매끄럽던 곡선이 점 몇 개로 줄어든다. 자연스러운 의심은 이것이다. 점 사이의 모든 것을 버렸는데, 어떻게 원래 곡선을 되찾는단 말인가.

나이퀴스트: 두 배보다 빠르게

표본화 정리는 답을 준다. 신호의 최고 주파수가 fmax일 때, fs > 2 fmax로 표본하면 표본만으로 원 신호를 완벽히 복원할 수 있다. 이 경계 2 fmax가 나이퀴스트 율이다. fs가 이에 못 미치면 fmax 부근의 성분이 fs/2 띠 안으로 접혀 들어와, 표본을 똑같이 지나는 더 느린 사인파로 보인다. 이 둔갑이 에일리어싱이고, 한번 접히면 되돌릴 수 없다.

관찰fs > 2 fmax

표본율은 최고 주파수의 두 배를 넘어야 한다.

고르기f_a = | fs ? f0 |

부족 표본화 시 겉보기 주파수는 접혀 내려온다.

PCM: 양자화와 부호화

표본은 아직 연속적인 값이다. PCM은 그 값을 L개의 단계 중 가장 가까운 것으로 반올림(양자화)하고, 각 단계를 n = log₂ L 비트로 적는다. 1초에 fs번 표본하므로 비트율은 R = n fs다. 반올림하며 생긴 오차가 양자화 잡음이고, 단계 수 L을 늘릴수록(비트를 더 쓸수록) 작아진다. 표본화로 시간을, 양자화로 값을 잘게 끊어 신호를 숫자로 바꾼다.

빈칸n = log₂ ?

L개 단계를 적으려면 표본당 log₂ L 비트.

스스로R = ? (bit/s)

비트율은 표본당 비트수에 표본율을 곱한다.

첫 화면으로 돌아가서

표본율을 올리자 점들이 촘촘해지고, fs가 신호 주파수의 두 배를 넘는 순간 복원이 원 신호와 포개져 금색이 됐다. 그 아래에서는 같은 표본을 지나는 더 느린 사인파가 나타나 빨갛게 둔갑했다. 표본화에서 들어야 할 단 하나는 이것이다. 점 사이를 버려도 fs > 2 fmax이면 아무것도 잃지 않으며, 그 경계를 어기면 높은 주파수가 가짜 저주파로 영영 접혀 버린다.

표본화는 연속 신호를 표본율 fs로 일정 간격마다 읽는 일이다. 표본화 정리에 따르면 fs > 2 fmax일 때 표본만으로 원 신호를 완벽히 복원하며, 경계 2 fmax가 나이퀴스트 율이다. fs가 모자라면 높은 주파수가 fs/2 아래로 접혀 에일리어싱이 일어난다. PCM은 각 표본을 L = 2ⁿ 단계로 양자화해 n = log₂ L 비트로 부호화하고, 비트율은 R = n fs다.

다음 유닛에서

이제 메시지는 비트의 흐름이 됐다. 다음은 이 비트로 반송파를 어떻게 흔드느냐다. 비트에 따라 반송파의 진폭을 켜고 끄면 ASK, 주파수를 둘로 바꾸면 FSK, 위상을 뒤집으면 PSK다. 디지털 변조의 세 갈래를 한자리에서 비교한다.