CM · 디지털 변조

대역폭과 심볼율

심볼 하나는 시간과 대역을 차지한다. 주어진 대역폭 B에서 심볼을 아무리 빨리 보내도 1초에 2B개를 넘지 못한다. 이 나이퀴스트 천장과, 더 많은 비트를 보내려면 심볼을 무겁게 해야 하는 이유를 익힌다.

얼마나 빽빽하게 밀어 넣을 수 있나

심볼율 Rs를 키우고 줄여 보라. 펄스가 서로 떨어져 있으면 심볼이 또렷이 구분되지만(금색), Rs가 2B를 넘으면 펄스가 겹쳐 한 덩어리로 뭉개진다(빨강, 심볼간 간섭).

심볼율 RsRs = 1.50 × 2B

슬라이더로 심볼율을 쓸어 보라. Rs = 2B가 나이퀴스트 천장이다.

심볼율과 나이퀴스트 천장

Rs > 2B → ISI

ISI · 겹침

심볼은 시간을 차지한다

심볼 하나를 보내려면 시간 한 칸 Ts가 필요하다. 1초에 보내는 심볼 수, 곧 심볼율은 Rs = 1/Ts다. 더 빨리 보내려면 칸을 좁혀 펄스를 더 촘촘히 붙이면 된다. 그러나 펄스를 무한히 붙일 수는 없다. 좁은 펄스일수록 더 넓은 주파수를 차지하기 때문이다.

나이퀴스트: 대역폭이 천장을 친다

나이퀴스트 신호율 정리는 천장을 못 박는다. 대역폭 B인 채널에서는 1초에 최대 2B개의 심볼만 서로 간섭 없이 보낼 수 있다. Rs를 그 위로 올리면 인접한 펄스가 서로의 시간 칸으로 흘러 들어, 수신기가 한 심볼을 읽을 때 옆 심볼이 끼어든다. 이 번짐이 심볼간 간섭(ISI)이고, 펄스들이 한 덩어리로 뭉개지면 비트를 되찾을 수 없다.

관찰Rs ≤ 2B

대역폭 B에서 심볼율은 2B를 넘지 못한다.

고르기Rb = Rs · log₂ ?

심볼당 log₂ M 비트를 곱한다.

더 많은 비트는 심볼을 무겁게

심볼율은 2B에서 막혔다. 그렇다면 같은 대역에서 비트를 늘리는 길은 하나뿐이다. 심볼 하나에 더 많은 비트를 싣는 것. M진 방식이면 심볼당 log₂ M 비트라, 비트율은 Rb = Rs log₂ M이다. 1헤르츠당 효율 η = Rb/B는 2 log₂ M까지 오른다. 다만 M을 키울수록 별자리의 점이 촘촘해져 더 큰 신호 대 잡음비를 요구하고, 그 끝에는 샤논이 친 절대 천장이 있다.

빈칸η = Rb / ? (bit/s/Hz)

효율은 비트율을 대역폭으로 나눈 값.

스스로C = B log₂(1 + ?)

더 큰 천장은 샤논: 다음 군에서.

첫 화면으로 돌아가서

심볼율을 올리자 펄스가 점점 가까워졌고, Rs가 2B를 넘는 순간 서로 겹쳐 한 덩어리로 뭉개지며 빨갛게 ISI가 됐다. 2B 바로 아래에서는 펄스가 또렷이 분리되면서도 대역을 꽉 채워 금색이 됐고, 너무 낮추면 펄스 사이가 비어 대역을 낭비했다. 대역폭과 심볼율에서 들어야 할 단 하나는 이것이다. 대역폭이 심볼율의 천장 2B를 정하므로, 더 많은 비트는 심볼을 더 빨리가 아니라 더 무겁게 만들어 얻는다.

나이퀴스트 신호율에 따르면 대역폭 B인 채널의 심볼율은 Rs ≤ 2B를 넘을 수 없다. 더 빠르면 펄스가 겹쳐 심볼간 간섭(ISI)이 생긴다. 비트율은 심볼당 비트를 곱해 Rb = Rs log₂ M, 스펙트럼 효율은 η = Rb/B ≤ 2 log₂ M이다. 같은 대역에서 비트를 늘리려면 M을 키워 심볼을 무겁게 해야 하며, 그 대가는 더 높은 SNR이고 절대 한계는 샤논 용량이다.

다음 유닛에서

심볼을 무겁게 할수록, ISI를 피할수록 자꾸 등장한 한 가지가 있다. 신호 대 잡음비 SNR이다. 다음 군에서는 이 잡음의 정체부터 본다. 열잡음이 어디서 오고, 신호 전력과 잡음 전력의 비가 무엇이며, 왜 그것이 통신의 모든 한계를 결정하는지를 따라간다.