seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

정적분과 무한급수

Definite Integrals & Series

곡선 아래 넓이를 구할 때는 구간을 잘게 나누어 얇은 직사각형으로 채운 뒤 모두 더하는 데서 시작해요. 직사각형을 많이 쓸수록 울퉁불퉁한 계단이 곡선에 붙고, 그 개수를 한없이 늘린 극한이 정적분이에요. 그래서 합 안의 k/n 을 x 로, 앞에 붙은 1/n 을 dx 로 바꾸면 복잡한 극한이 적분 하나로 정리돼요. 그림에서 직사각형 개수 n 을 늘리면 그 합이 정적분 값 1/3 에 다가가요.

잘게 나누어 더하면 넓이

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👀 그림에서 읽을 것
①[0, 1] 을 n 등분해 직사각형 넓이를 모두 더한다
②오른쪽 끝의 높이를 쓰므로 합은 늘 1/3 보다 조금 크다
③n 이 커질수록 계단이 곡선에 붙고 합은 1/3 에 다가간다
④이렇게 넓이를 구하는 방법을 구분구적법이라고 한다

구분구적법

구분구적법의 핵심
limn→∞ 1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
1/n 은 가로 폭(Δx), k/n 은 가로 위치(x)이고, 합의 극한이 정적분이다
일반 구간 [a, b]
limn→∞ ∑k=1n f(a + (b−a)kn)·b−an = ∫ab f(x) dx
폭이 (b − a)/n 이고 위치가 a + (b − a)k/n 인 직사각형의 합이다

극한의 합을 정적분으로 바꾸기

🔁 바꾸는 규칙
①k/n 을 x 로 바꾼다
②1/n 을 dx 로 바꾼다
③k = 1 부터 n 까지의 합은 0 부터 1 까지의 적분이 된다
④[0, 1] 이 아닌 구간이면 폭은 (b − a)/n, 위치는 a + (b − a)k/n 으로 바꾼다

예제로 확인하기

예제 1
limn→∞ 1n ∑k=1n kn 의 값을 구하시오.
1
k/n 을 x 로, 1/n 을 dx 로 바꾼다.
= ∫01 x dx
2
정적분을 계산한다.
= [x22]01 = 12
▸ 1/2
1/n 씩 너비를 가진 직사각형 높이 k/n 을 모두 더한 것이므로, 0 부터 1 까지 y = x 아래의 삼각형 넓이 1/2 과 같다.
예제 2
limn→∞ 1n ∑k=1n (kn)2 의 값을 구하시오.
1
같은 규칙으로 정적분으로 바꾼다.
= ∫01 x2 dx
2
정적분을 계산한다.
= [x33]01 = 13
▸ 1/3
(k/n)² 은 x², 1/n 은 dx 로 바뀐다. 그림이 바로 이 합이며, n 을 늘릴수록 1/3 에 다가간다.

정리

핵심 정리
limn→∞ 1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
한없이 많은 직사각형의 합 = 정적분(넓이)
2020 수능 수학(미적분) 유형 변형
limn→∞ 1n ∑k=1n √(k/n) 의 값은?
①1/2
②2/3
③3/4
④1
⑤발산
▸ ② 2/3
1
k/n 을 x 로, 1/n 을 dx 로 바꾸면 정적분이 된다.
= ∫01 √x dx
2
√x = x1/2 을 적분한다.
= [23 x3/2]01 = 23
🎯 시험 포인트
①(1/n) Σ f(k/n) 꼴을 보면 0 부터 1 까지 f(x) 의 정적분으로 바꾼다
②k/n → x, 1/n → dx 가 핵심이다
③근호나 거듭제곱이 섞여도 규칙은 같다
④일반 구간은 폭 (b − a)/n, 위치 a + (b − a)k/n 으로 바꾼다
⑤1/n 을 dx 로 바꾸는 것은 구간의 길이가 1 일 때뿐이다
← 이전
정적분으로 정의된 함수
다음 →
두 곡선 사이의 넓이

마지막 수정

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