정적분과 무한급수

Definite Integrals & Series

곡선 아래 넓이를 구하고 싶을 때는, 구간을 잘게 잘라 얇은 직사각형으로 채운 다음 전부 더하는 것부터 시작해요. 직사각형을 많이 쓸수록 울퉁불퉁한 계단이 곡선에 착 달라붙고, 그 개수를 무한히 늘린 극한이 바로 정적분이에요. 그래서 합 속의 k/n은 x로, 앞에 붙은 1/n은 dx로 바꾸면 복잡한 극한이 적분 한 줄로 정리돼요. 아래에서 직사각형 개수 n을 늘려가며 그 합이 정적분 값 1/3에 어떻게 다가가는지 확인해 봐요.

잘게 쪼개 더하면 넓이

직사각형 개수 n6

👀 눈으로 보자

①구간을 n등분해 직사각형 넓이를 모두 더한다

②n이 커질수록 계단이 곡선에 밀착한다

③극한에서 그 합은 정확히 정적분(넓이)이 된다. 이것이 구분구적법

구분구적법

구분구적법의 핵심

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ f(kn) = ∫₀¹ f(x) dx

1/n은 가로(Δx), k/n은 가로 위치(x): 합의 극한이 정적분

일반 구간 [a,b]

lim_n→∞ ∑_k=1ⁿ f(a + (b−a)kn)·b−an = ∫_a^b f(x) dx

폭이 (b−a)/n, 위치가 a+(b−a)k/n인 직사각형의 합

lim 합을 정적분으로 바꾸기

🔁 치환 규칙

①k/n을 x로 바꾼다

②1/n을 dx로 바꾼다

③k=1~n의 합은 0~1의 적분이 된다

④복잡한 극한 합도 이 규칙으로 정적분 한 줄로 정리

직접 구해 보자

예제 1

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ kn 의 값을 구하시오.

k/n을 x로, 1/n을 dx로 바꾼다.

= ∫₀¹ x dx

정적분을 계산한다.

= [x²2]₀¹ = 12

▸ 1/2

합 안의 k/n이 변수 x, 앞의 1/n이 dx로 대응된다고 보면 끝.

예제 2

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ (kn)² 의 값을 구하시오.

같은 규칙으로 정적분으로 바꾼다.

= ∫₀¹ x² dx

계산하면

= [x³3]₀¹ = 13

▸ 1/3

(k/n)²은 x², 1/n은 dx: 거듭제곱이 있어도 규칙은 같다.

총정리

핵심 정리

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ f(kn) = ∫₀¹ f(x) dx

무한히 많은 직사각형의 합 = 정적분(넓이)

2020 수능 수학(미적분) 유형 변형

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ √(k/n) 의 값은?

①1/2

②2/3

③3/4

④1

⑤발산

▸ ② 2/3

k/n→x, 1/n→dx로 바꾸면 정적분이 된다.

= ∫₀¹ √x dx

x^1/2을 적분한다.

= [23 x^3/2]₀¹ = 23

🎯 시험 포인트

①1/n·Σf(k/n)을 보면 즉시 ∫₀¹f(x)dx

②k/n→x, 1/n→dx 치환이 핵심

③근호·거듭제곱이 섞여도 규칙 동일

④일반 구간은 폭 (b−a)/n·위치 a+(b−a)k/n

⑤Σ 앞에 1/n이 빠지면 구분구적법이 아니다