자계의 에너지

Magnetic Field Energy

콘덴서의 전계에 에너지가 저장되듯, 인덕터의 자계에도 에너지가 담겨 있어요. 전류를 흘려 자계를 만드는 데 에너지가 들고 그 에너지가 자계 속에 남아 있어서, 전류를 갑자기 끊으면 저장된 에너지가 한꺼번에 방출되며 스파크가 튀어요. 에너지 밀도는 자계가 셀수록 커지고 도선에 가까울수록 높으며, 전계 에너지 ½CV²와 자계 에너지 ½LI²는 완벽한 쌍을 이뤄요. 슬라이더로 전류와 거리를 바꿔 에너지 밀도가 어디서 높아지는지 보고, 전계와 자계 에너지 버튼으로 둘의 대응을 비교해 봐요.

자계에도 에너지가 저장된다

⚡ 보이지 않는 에너지 창고

①콘덴서의 전계에 에너지가 저장되듯, 인덕터의 자계에도 에너지가 저장됩니다

②전류를 흘려 자계를 만드는 데 에너지가 필요하고, 그 에너지가 자계에 남아 있습니다

③전류를 끊으면 저장된 에너지가 방출 → 역기전력(스파크)의 원인!

에너지 밀도 분포 탐색

전류 I [A]5 A

관측 거리 r [m]2 m

🔑 핵심 관찰

①도선에 가까울수록 H가 크고 → 에너지 밀도 w도 높습니다

②w ∝ H² ∝ 1/r² → 거리 2배 시 에너지 밀도 1/4

③전류 I가 2배 → 에너지 밀도 4배 (I² 비례)

자계 에너지 공식

에너지 밀도

w = ½μH² = ½BH = B²/(2μ) [J/m³]

단위 부피당 저장 에너지: 3가지 표현 모두 동일

전체 에너지

W = ∫∫∫ ½μH² dv [J]

전 공간에서 에너지 밀도를 적분 → 총 저장 에너지

인덕턴스 이용

W = ½LI² [J]

L: 인덕턴스 [H], I: 전류 [A]. 회로 관점의 표현

전계 에너지 vs 자계 에너지

💡 완벽한 대응

①전계: we = ½εE² [J/m³], We = ½CV² [J]

②자계: wm = ½μH² [J/m³], Wm = ½LI² [J]

③ε↔μ, E↔H, C↔L, V↔I: 완전한 쌍대(duality) 관계!

시험 핵심 정리

에너지 밀도

w = ½μH²

= ½BH = B²/(2μ)

총 에너지

W = ½LI²

= ∫½μH²dv

🎯 시험 포인트

①에너지 밀도 3가지 표현: w = ½μH² = ½BH = B²/(2μ) 모두 동일

②총 에너지: W = ½LI². 인덕턴스와 전류로 표현

③전계 에너지 We = ½CV² ↔ 자계 에너지 Wm = ½LI²: 쌍대 관계

④w ∝ H² ∝ I² → 전류 2배 시 에너지 4배

⑤역기전력: 전류 차단 시 ½LI²의 에너지가 순간 방출 → 스파크

📝 대표 기출문제

①[에너지밀도] B=0.5T, μ₀=4π×10⁻⁷ → w=B²/(2μ₀)=0.25/(8π×10⁻⁷)≈10⁵ J/m³

②[인덕터에너지] L=2H, I=3A → W=½LI²=½×2×9=9J

③[대응] 콘덴서 We=½CV²에 대응하는 자계 에너지식은? → Wm=½LI²