중1 수학›자연수의 성질

소인수분해

Prime Factorization

직관 도입 -- 수를 쪼개보자

수 선택36

🧱 레고처럼 쪼개자!

①약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수 (12의 약수: 1,2,3,4,6,12)

②소수: 1과 자기 자신만 약수인 수 (2,3,5,7,11,13...)

③소인수분해: 자연수를 소수의 곱으로 완전히 쪼개는 것

④레고 블록 = 소수, 완성품 = 합성수

소인수분해 트리

분해할 수36

소인수분해 절차

가장 작은 소수(2)부터 차례로 나누기

2 → 3 → 5 → 7 → ... 몫이 1이 될 때까지 반복

거듭제곱 표현

72 = 2³ x 3²

같은 소인수는 거듭제곱으로 묶어 표현한다

📝 나눗셈 세로 배열법

①왼쪽에 소인수, 오른쪽에 몫을 적는다

②예: 72 → 2|72 → 2|36 → 2|18 → 3|9 → 3

③왼쪽 숫자들을 모두 곱하면 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³ x 3²

④같은 수는 어떤 순서로 나눠도 결과가 같다 (유일성)

약수의 개수 구하기

약수의 개수

N = p^a x q^b → 약수의 개수 = (a+1)(b+1)

각 소인수의 지수에 1을 더해 곱한다

예시: 72의 약수

72 = 2³ x 3² → (3+1)(2+1) = 12개

실제로 세어보면: 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72

💡 왜 (지수+1)을 곱할까?

①72 = 2³ x 3²의 약수를 만들려면

②2를 0번,1번,2번,3번 쓸 수 있다 → 4가지 선택

③3을 0번,1번,2번 쓸 수 있다 → 3가지 선택

④각 선택을 조합하면 4 x 3 = 12가지 → 약수 12개!

최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM) 연결

수 A12

수 B18

GCD (최대공약수)

각 소인수의 지수 중 작은 것을 선택

공통 소인수만, 지수는 최솟값

LCM (최소공배수)

각 소인수의 지수 중 큰 것을 선택

모든 소인수, 지수는 최댓값

🔍 GCD x LCM = a x b

①최대공약수 x 최소공배수 = 두 수의 곱

②이 성질을 이용하면 GCD를 알 때 LCM을 바로 구할 수 있다

③시험에서 이 관계를 이용한 문제가 자주 나온다!

시험 포인트 정리

소인수분해 총정리

N = p₁^a_1 x p₂^a_2 x ... → 약수 (a₁+1)(a₂+1)...개

모든 합성수는 소수의 곱으로 유일하게 표현된다

🎯 시험 포인트

①1은 소수도 합성수도 아니다

②가장 작은 소수 = 2 (유일한 짝수 소수!)

③소인수분해 결과는 항상 유일하다

④약수의 개수 = (지수+1)들의 곱

⑤GCD x LCM = a x b (두 수의 곱)