수학Ⅱ›3단원 적분

부정적분

Indefinite Integral

적분이란 미분의 역과정

🔄 부정적분의 핵심 아이디어

①"이 함수를 미분하면 원래 함수가 나오는 것은 무엇인가?"

②미분의 역연산: F'(x) = f(x)인 F(x)를 찾는 것

③상수 C를 더해도 미분하면 사라지므로 → 답이 무한히 많다!

역도함수 패밀리

적분상수 C0

부정적분의 정의

∫ f(x) dx = F(x) + C (단, F'(x) = f(x))

f(x)의 모든 역도함수를 나타냄 — C는 적분상수

💡 적분상수 C의 의미

①C는 초기 조건(시작점)에 의해 결정됩니다

②예: 속도 v(t) = 2t를 적분 → 위치 s(t) = t² + C, C = s(0)

③C를 빠뜨리면 감점! 부정적분에서는 반드시 + C를 붙여야 합니다

미분-적분의 역관계

거듭제곱 n2

거듭제곱의 적분

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

미분 공식 (xⁿ)' = nx^n-1의 역과정

기본 적분 공식

상수배와 합·차

∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx

상수는 적분 밖으로, 합/차는 각각 적분

상수

∫ k dx = kx + C

1차

∫ x dx = x²/2 + C

2차

∫ x² dx = x³/3 + C

n차

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

총정리

부정적분 핵심

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

미분의 역연산 + 적분상수 C

🎯 시험 포인트

①부정적분 = 미분의 역연산, 반드시 + C를 붙인다

②∫x^n dx에서 n ≠ -1 조건 주의

③다항함수의 적분: 각 항별로 적분 후 합산

④초기 조건이 주어지면 C를 결정할 수 있다 (예: f(0) = 3)

⑤검산: 부정적분 결과를 미분하면 원래 피적분함수가 나와야 한다