공통수학›다항식

다항식의 연산

Polynomial Operations

다항식의 곱셈 — 넓이로 보기

두 다항식의 곱셈은 직사각형의 넓이로 이해할 수 있습니다. (x + a)(x + b)를 전개하면, 네 개의 작은 직사각형 넓이의 합이 됩니다.

4
💡 넓이 모델의 핵심
①x²은 큰 정사각형, (a+b)x는 직사각형 2개, ab는 작은 직사각형
②각 영역의 넓이를 더하면 전개식이 완성
③이 원리가 곱셈공식의 기초
다항식의 나눗셈 — 조립제법

다항식을 (x - a)로 나눌 때, 조립제법을 사용하면 빠르게 몫과 나머지를 구할 수 있습니다.

6
🔑 조립제법 원리
①(x - a)로 나눌 때, a를 왼쪽에 적는다
②최고차 계수를 그대로 내린다
③내린 수 × a를 다음 계수에 더한다
④마지막 수가 나머지
나눗셈의 관계식
다항식 나눗셈의 등식
f(x) = (x - a) · Q(x) + R
피제식 = 제식 × 몫 + 나머지
항등식 성질
(차수 n인 다항식) ÷ (차수 1) → 몫: 차수 n-1, 나머지: 상수
나눗셈 후 차수가 1 줄어든다
📐 정수 나눗셈과의 비교
①17 ÷ 5 = 3 … 2 → 17 = 5 × 3 + 2
②다항식도 동일한 구조: f(x) = 제식 × 몫 + 나머지
③나머지의 차수 < 제식의 차수 (항상!)
곱셈공식 정리
완전제곱식
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
제곱의 전개
합차공식
(a + b)(a - b) = a² - b²
합 × 차 = 제곱의 차
세제곱 전개
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
이항정리의 n=3 경우
총정리
핵심 나눗셈 등식
f(x) = (제식) × Q(x) + R
모든 다항식 나눗셈의 기본 구조
🎯 시험 포인트
①곱셈공식은 인수분해의 역과정 — 양방향 숙달 필수
②조립제법은 나머지정리와 직결
③나눗셈 등식에서 x에 특정 값을 대입하면 나머지를 구할 수 있다
④세제곱 전개는 이항정리로 확장
⑤차수 관계: 피제식 차수 = 몫 차수 + 제식 차수