기하›이차곡선

포물선

Parabola

초점과 준선의 직관
1.5
👀 포물선이란?
①포물선 위의 아무 점 P를 찍어 보자
②초점 F까지의 거리와 준선까지의 거리가 항상 같다
③이 '같은 거리' 조건이 포물선의 정의이다
④초점에서 나온 빛은 포물선에 반사되어 평행하게 나간다 — 위성안테나, 헤드라이트의 원리!
p에 따른 모양 변화
1.5
📏 p의 의미
①p가 크면 초점이 멀어지고 포물선이 넓게 퍼진다
②p가 작으면 초점이 가까워지고 포물선이 좁아진다
③준선은 항상 초점의 반대편 같은 거리에 있다
표준형 공식 도출
포물선의 표준형 (가로)
y² = 4px
초점 F(p, 0), 준선 x = −p, 꼭짓점 원점
포물선의 표준형 (세로)
x² = 4py
초점 F(0, p), 준선 y = −p, 꼭짓점 원점
🔍 도출 과정
①포물선의 정의: PF = Pd (초점까지 거리 = 준선까지 거리)
②점 P(x,y)에서 F(p,0)까지 거리: √((x−p)² + y²)
③준선 x=−p까지 거리: |x+p|
④양변을 제곱하면 (x−p)² + y² = (x+p)²
⑤전개하면 y² = 4px
꼭짓점이 원점이 아닌 경우
평행이동된 포물선
(y − k)² = 4p(x − h)
꼭짓점 (h, k), 초점 (h+p, k)
🎯 평행이동 핵심
①x 대신 (x−h), y 대신 (y−k)를 대입
②초점도 같은 방향으로 (h,k)만큼 이동
③준선도 x = h−p로 이동
④공식의 구조는 동일하다
총정리
핵심 공식
y² = 4px
초점 (p,0) | 준선 x=−p | p>0이면 오른쪽, p<0이면 왼쪽
🎯 시험 포인트
①포물선의 정의: 초점까지 거리 = 준선까지 거리
②y²=4px에서 4p의 부호로 개구 방향 판별
③초점 좌표와 준선의 방정식을 빠르게 구하는 연습
④꼭짓점이 (h,k)인 경우 평행이동 공식
⑤포물선의 초점은 접시안테나·헤드라이트 원리와 연결