미적분›정적분의 활용

정적분의 활용

Applications of Definite Integrals

회전체의 부피
270°
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🍩 디스크를 쌓자
①곡선을 x축 둘레로 회전하면 입체가 된다
②각 x 위치에서 원판(디스크)의 반지름 = f(x)
③원판의 넓이 = π[f(x)]² → 이것을 적분하면 부피
부피 공식
디스크법 (원판법)
V = π ∫ab [f(x)]² dx
x축 회전: 반지름 f(x)인 원판의 넓이를 적분
와셔법
V = π ∫ab ([R(x)]² − [r(x)]²) dx
두 함수 사이의 영역 회전: 바깥 반지름 R, 안쪽 반지름 r
셸법 (원통껍질법)
V = 2π ∫ab x · f(x) dx
y축 회전: 반지름 x, 높이 f(x)인 원통 껍질을 적분
💡 디스크 vs 셸
①x축 회전 + x로 적분 → 디스크법
②y축 회전 + x로 적분 → 셸법
③둘 다 가능할 때는 계산이 간단한 쪽을 선택
호의 길이
3
📏 곡선을 따라 재자
①곡선을 아주 짧게 자르면 직선 조각(ds)이 된다
②ds = √(dx² + dy²) — 피타고라스 정리!
③이 조각들을 모두 더하면(적분하면) 호의 길이
호의 길이 공식
L = ∫ab √(1 + [f'(x)]²) dx
ds = √(1 + (dy/dx)²) dx를 적분
넓이와 속도·거리
두 곡선 사이의 넓이
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
위쪽 함수 − 아래쪽 함수의 절댓값을 적분
속도와 거리
거리 = ∫ab |v(t)| dt, 변위 = ∫ab v(t) dt
속도의 절댓값 적분 = 총 이동거리, 속도 적분 = 변위(부호 있음)
🚗 적분의 물리적 의미
①속도 v(t)를 적분하면 → 이동거리
②가속도 a(t)를 적분하면 → 속도
③적분은 '쌓는 것'이다 — 순간을 쌓으면 전체가 된다
총정리
정적분 활용 핵심 3공식
V = π∫[f(x)]²dx, L = ∫√(1+[f']²)dx, S = ∫|f−g|dx
회전체 부피, 호의 길이, 두 곡선 사이 넓이
🎯 시험 포인트
①디스크법: V = π∫[f(x)]²dx — x축 회전 기본
②와셔법: 두 함수 → [R²−r²] 차이 주의
③셸법: 2π∫x·f(x)dx — y축 회전시 유리
④호의 길이: √(1+f'²) 계산이 핵심, f'을 먼저 구하자
⑤넓이: |f−g| 절댓값 → 위아래 관계가 바뀌는 교차점 확인 필수