CM · 雑音と情報

チャネル容量とシャノン

どれほど巧妙に符号を組んでも、一つのチャネルが誤りなく運べるビット率には天井がある。その天井は帯域幅と SNR の二つだけで決まるというシャノンの結論と、帯域幅と電力を交換する方法を学ぶ。

このチャネルは目標率を担えるか

SNR を増減してみよう。容量曲線 C/B = log₂(1 + SNR) が点線の目標率を超えると、その率を誤りなく送れる(金色)。下にとどまる間はどんな符号でも不可能だ(赤)。

信号対雑音比 SNRSNR = 3.0 dB

スライダーで SNR を掃引しよう。容量は SNR の対数でゆっくり上がる。

今の SNR の容量と目標

C/B = 1.58 < 4

容量不足

巧妙なら無限に速いか

雑音がビットを反転させるなら、同じビットを何度も送るか巧妙な符号を足して誤りを減らせる。では符号を十分精巧に組めば、どんな雑音チャネルでも望むだけ速く正確に送れるのか。1948 年のシャノンの答えは驚きだった。否、単단な天井がある。ただしその天井の下では誤りを 0 に限りなく近づけられる。

シャノンの公式

天井の値は一行で書ける。C = B log₂(1 + SNR)。ここで C は一秒に誤りなく送れる最大ビット数、B は帯域幅、SNR は信号対雑音比だ。この式には変調方式も符号の種類も入っていない。チャネルの容量は帯域幅と SNR の二つの数だけで決まる。率 Rb が C より小さければ適切な符号で任意に信頼性高く送れ、C より大きければどんな方法でも誤りを避けられない。

観察C = B log₂(1 + SNR)

容量は帯域幅と SNR だけで決まる。

選ぶRb ? C

C の下でのみ任意に信頼性高く送れる。

取引 ―― 帯域幅と電力

容量を上げる道は二つ。帯域幅 B を広げるか、信号電力を増やして SNR を上げるか。だが二つの効き方は違う。B は式の前に線形に付き、二倍にすれば容量も二倍になるが、SNR は対数の中にあり、1 ビット増やすには SNR をおよそ二倍にせねばならない。電力はすぐ収穫が減り、帯域は着実だ。だから電力が乏しければ帯域を広げ、帯域が乏しければ電力を注ぐ。帯域を無限に広げても、ビットあたりエネルギーには超えられない最小値が残る。

空欄η = C / ? = log₂(1 + SNR)

一ヘルツあたりの効率は log₂(1 + SNR)。

自分でB → 2B : C → ?

帯域幅を二倍にすれば容量も二倍(SNR 一定)。

最初の画面に戻ると

SNR が低いときは容量曲線が目標率の下に伏せ、その率はどんな符号でも送れない赤だった。SNR を上げると曲線はゆっくり昇り、目標を越えて金色に変わった。曲線が対数なので、一段上げるのにますます大きな SNR が要った。チャネル容量で聞き取るべきはただ一つ。誤りなき通信の絶対の天井は帯域幅と SNR だけで C = B log₂(1 + SNR) に刻まれ、その下はすべて可能、その上はすべて不可能だ。

チャネル容量 C = B log₂(1 + SNR) は、一つのチャネルが誤りを任意に小さくして送れる最大ビット率だ。変調や符号によらず、帯域幅 B と SNR だけで決まる。率が C より小さければ適切な符号で信頼性高く送れ、C より大きければ不可能だ。容量を上げるには帯域幅(線形)か電力/SNR(対数)を増やし、二つを交換できる。

次のユニットで

シャノンは C の下で誤りを 0 に近づけられると約束したが、その方法は言わなかった。最後のユニットはその方法、誤り符号化だ。送るビットに規則に従う余分なビットを足せば、雑音がいくつか反転させても受信機がその余分でずれに気づき正す。パリティ 1 ビットから始め、誤りを検出し訂正する原理を見る。