CM · デジタル変調

帯域幅とシンボル率

シンボルを一つ送るには、時間も帯域も必要です。与えられた帯域幅 B の中では、どれほど急いでシンボルを送っても 1 秒間に 2B 個を超えられません。このナイキストの天井がどこから来るのか、そしてより多くのビットを送るにはなぜシンボルを速くではなく重くしなければならないのかを学びます。

どこまで詰めて送り込めるか

淡い山の一つひとつがシンボルのパルスで、太い曲線はそれらのパルスをすべて足し合わせた受信波形です。シンボルレートを上げるとパルスの間隔は狭まりますが、パルスの幅は帯域幅で決まっているので変わりません。そのため Rs が 2B を超えると、パルスどうしが重なって受信波形がひと塊につぶれ、赤く変わります。

シンボル率 RsRs = 1.50 × 2B

Rs = 2B がナイキストの天井です。右の値はシンボルレートがその天井の何倍かを表し、初期値は天井より上なので赤くなっています。

シンボル率とナイキストの天井

Rs > 2B → ISI

ISI · 重なり

シンボルは時間を占める

シンボルを一つ送るには時間の区画 Ts が一つ必要で、1 秒間に送るシンボル数であるシンボルレートは Rs = 1/Ts です。速く送りたければ、区画を狭めてパルスをもっと詰めればよさそうに思えます。しかし、パルスをいくらでも詰めることはできません。パルスが短いほど、より広い周波数帯域を占めるからです。

ナイキスト ―― 帯域幅が天井を張る

この天井の高さを決めるのが、ナイキストの信号速度定理です。帯域幅が B のチャネルでは、1 秒間に最大 2B 個のシンボルまでしか、互いに干渉せずに送れません。シンボルレートをそれより上げると、隣のパルスが互いの時間区画へにじみ込み、受信機があるシンボルを読む瞬間に隣のシンボルが混ざります。このにじみを符号間干渉(ISI)といい、パルスがひと塊につぶれてしまうと、ビットを取り戻すすべはありません。

観察Rs ≤ 2B

帯域幅 B の中では、シンボルレートは 2B を超えられません。

選ぶRb = Rs · log₂ ?

シンボルレートにシンボルあたり log₂ M ビットを掛けます。

より多くのビットはシンボルを重く

シンボルレートが 2B で頭打ちになる以上、同じ帯域でビットを増やす道は、一つのシンボルにより多くのビットを載せることしかありません。M 値方式ならシンボルあたり log₂ M ビットを運ぶので、ビットレートは Rb = Rs log₂ M となります。1 ヘルツあたりの効率 η = Rb/B は、最大 2 log₂ M まで上がります。ただし M を大きくするほど信号点が詰まって、より大きな信号対雑音比が必要になり、その先にはシャノンが定めた越えられない天井があります。

空欄η = Rb / ? (bit/s/Hz)

効率は、ビットレートを帯域幅で割った値です。

自分でC = B log₂(1 + ?)

それより高い天井はシャノン容量で、後のユニットで扱います。

最初の画面に戻ると

シンボルレートを上げるとパルスはしだいに近づき、Rs が 2B を超えた瞬間に重なり合って、受信波形がひと塊につぶれた赤い ISI になりました。2B のすぐ下ではパルスがはっきり分かれたまま帯域を余さず使って金色になり、下げすぎるとパルスの間が空いて帯域を無駄にする橙色になりました。覚えておくことは一つです。帯域幅がシンボルレートの天井 2B を決めるので、より多くのビットは、シンボルを速く送ることではなく重くすることで得られます。

ナイキストの信号速度によれば、帯域幅 B のチャネルのシンボルレートは Rs ≤ 2B を超えられません。これより速いとパルスが重なり、符号間干渉(ISI)が生じます。ビットレートはシンボルあたりのビット数を掛けた Rb = Rs log₂ M、スペクトル効率は η = Rb/B ≤ 2 log₂ M です。同じ帯域でビットを増やすには M を大きくしてシンボルを重くする必要があり、その代価はより高い SNR、絶対的な限界はシャノン容量です。

次のユニットで

シンボルを重くするときも、ISI を避けるときも、繰り返し顔を出した量が一つあります。信号対雑音比、SNR です。次のユニットでは、まずその雑音の正体を見ます。熱雑音がどこから生じるのか、信号電力と雑音電力の比が何を意味するのか、そしてその比がなぜ通信の限界を決めるのかを順にたどります。