seegongsik
高校2~高校3年生 (16-18歳)

物理 特殊相対性理論 わかりやすく

Special Relativity

特殊相対性理論は、すべての慣性系で物理法則が同じであることと、光の速さはどの観測者にとっても c であることの二つの仮定から出発します。 この二つの仮定だけから、動く時計が遅れる時間の遅れ、動く物体が縮む長さの収縮、質量がそのままエネルギーである E = mc² が導かれます。 これらの効果は速さが光の速さに近づくほど大きくなり、ふだんの速さではほとんど現れません。 図で速さの比 v/c を変えると二つの時計と二本の棒がいっしょに変わり、どちらも同じローレンツ因子 γ で決まります。

アインシュタインの二つの仮定

💡 なぜ特殊相対性理論が必要だったのか
①19 世紀末、マイケルソンとモーリーの実験で、観測者が動いても光の速さは変わらなかった
②この結果は速度を単純に足すガリレイの速度の合成と合わず、アインシュタインが新しい理論を示した
③仮定 1（相対性原理）：すべての慣性系で物理法則は同じである
④仮定 2（光速度不変の原理）：光の速さは観測者によらずつねに c である
⑤この二つの仮定から、時間の遅れ、長さの収縮、E = mc² がすべて導かれる

時間の遅れ：動く時計は遅れる

0.60
ローレンツ因子
γ = 1√(1 - v²/c²)
v が c に近づくほど γ は限りなく大きくなる
時間の遅れ
Δt = γΔt₀
静止した観測者が測る時間 Δt は、動く時計の固有時間 Δt₀ の γ 倍である
🔬 ミューオンの寿命：実際の証拠
①ミューオンは、宇宙から飛んでくる高エネルギーの粒子が大気の上層でつくる粒子である
②ミューオンの寿命は約 2.2 μs なので、光の速さで進んでも約 660 m しか進めない
③ところが、高さ約 10 km でできたミューオンが地表で観測される
④ミューオンは 0.998c で飛んでくるので、γ ≈ 15.8 になるからである
⑤ミューオンの固有の寿命 2.2 μs は、地球から見ると約 34.8 μs に延び、約 10 km を飛んでこられる

長さの収縮：運動の方向に縮む

長さの収縮
L = L₀γ
動く物体は、運動の方向にだけ固有の長さの 1/γ に縮む
📐 時間の遅れと長さの収縮は対になっている
①Δt₀ は固有時間で、出来事とともに動く時計で測った時間である
②L₀ は固有の長さで、物体とともに静止した状態で測った長さである
③同じ γ で時間は延び長さは縮むが、これは同じ現象を二つの向きから見たものである
④v が c よりずっと小さければ γ ≈ 1 なので、ふだんの生活では違いを感じられない

質量とエネルギーの等価性 E = mc²

質量とエネルギーの等価性
E₀ = mc²
静止した質量 m は、それだけで mc² のエネルギーをもつ
相対論的全エネルギー
E = γmc²
運動エネルギーまで含めた全エネルギーは γmc² である
相対論的運動エネルギー
Ek = (γ - 1)mc²
全エネルギー − 静止エネルギー = 運動エネルギー
💣 1 g がもつエネルギー
①質量 1 g の静止エネルギーは E = mc² = 0.001 × (3 × 10⁸)² = 9 × 10¹³ J である
②これは 100 W の電球を約 28,000 年つけ続けられる量である
③太陽は 1 秒ごとに約 400 万トンの質量を光と熱のエネルギーに変えている
④核分裂と核融合は、質量の一部がエネルギーに変わる反応である
⑤そのため、質量保存よりも、質量とエネルギーを合わせた保存のほうが正確な法則である

例題で確認

例題 1
0.6c で運動する宇宙船で固有時間 4 秒が経過するとき、静止した地球の観測者が測る時間は？（γ = 1.25）
1
時間の遅れの式 Δt = γΔt₀ を使う。
Δt = γΔt₀
2
γ = 1.25、Δt₀ = 4 秒を代入する。
Δt = 1.25 × 4 = 5 秒
▸ 5 秒
宇宙船の中で 4 秒たつ間に、地球では 5 秒たつ。まず、出来事とともに動く時計で測った時間が固有時間 Δt₀ であることを見分ける。
例題 2
固有長 100 m の宇宙船が 0.8c で運動するとき、地球の観測者が測る長さは？（γ = 5/3）
1
長さの収縮の式 L = L₀/γ を使う。
L = L₀γ
2
L₀ = 100 m、γ = 5/3 を代入する。
L = 1005/3 = 100 × 0.6 = 60 m
▸ 60 m
1/γ = 0.6 なので、長さは固有の長さの 60% に縮み、縮むのは運動の方向の長さだけである。

まとめ

時間の遅れ
Δt = γΔt₀
動く時計は遅れる
長さの収縮
L = L₀γ
動く棒は短くなる
質量-エネルギー
E = mc²
質量そのものがエネルギー
韓国修能 類題
静止質量 2 g の物質がすべてエネルギーに変換されるとき放出されるエネルギーは？（c = 3×10⁸ m/s）
①9×10¹³ J
②1.8×10¹⁴ J
③6×10⁸ J
④1.8×10¹¹ J
⑤3.6×10¹⁴ J
▸ ② 1.8×10¹⁴ J
1
質量とエネルギーの等価性 E = mc² を使い、質量は SI 単位に直して m = 0.002 kg を代入する。
E = mc2
2
m = 0.002 kg、c = 3 × 10⁸ m/s を代入する。
E = 0.002 × (3×108)2 = 1.8×1014 J
🎯 試験ポイント
①γ = 1/√(1 − v²/c²) は v が c に近いほど急激に大きくなる
②時間の遅れ：Δt = γΔt₀（動く時計は遅れる）
③長さの収縮：L = L₀/γ（運動の方向にだけ縮む）
④静止エネルギー E₀ = mc² は、質量がエネルギーであることを表す
⑤地表まで届くミューオンは、時間の遅れの代表的な証拠である
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