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単語帳
高校2~高校3年生 (16-18歳)

特殊相対性理論

Special Relativity

特殊相対性理論は、すべての慣性系で物理法則が同じであることと、光速が観測者に無関係に常に c であることの二つの仮定から始まります。 この二つだけから時間の遅れ、長さの収縮、E = mc² が導かれます。 速さが光速に近づくほどこれらの効果が目立ちます。 このページでは速度比 v/c をスライダーで変えながら、時間の遅れがどう大きくなるかを確かめてみましょう。

アインシュタインの2つの仮定
💡 なぜ特殊相対性理論が必要か
①19世紀末:光の速度は観測者が動いても変わらない(マイケルソン·モーリー実験)
②これはニュートン力学と矛盾!→ アインシュタインが新理論を提示
③仮定1:全ての慣性系で物理法則は同じ(相対性原理)
④仮定2:光の速度は観測者に無関係で常にc(光速不変)
⑤この2つから時間の遅れ·長さの収縮·E=mc²が導かれる!
時間の遅れ — 動く時計は遅い
0.6
ローレンツ因子
γ = 1√(1 - v²/c²)
v → cならγ → ∞(効果が最大)
時間の遅れ
Δt = γΔt₀
動く時計はγ倍遅く流れる
🔬 ミューオンの寿命 — 実証!
①ミューオン:宇宙線が大気上層で作る粒子
②ミューオンの寿命約2.2μs → 光速でも~660mしか進めない
③なのに高度10kmで生成されたミューオンが地表で観測される!
④理由:ミューオンは0.998cで飛び、γ ≈ 15.8
⑤ミューオン基準寿命2.2μs → 地球基準34.8μs → 約10km可能!
長さの収縮 — 運動方向に縮む
長さの収縮
L = L₀γ
動く物体は運動方向に収縮
📐 時間の遅れと長さの収縮の関係
①Δt₀:固有時間(出来事の場所で測定)
②L₀:固有長(物体と共に静止状態で測定)
③時間が遅れる ↔ 長さは縮む(同現象の両面)
④v ≪ cならγ ≈ 1 → 日常では差を感じない
質量-エネルギー等価 E = mc²
質量-エネルギー等価
E₀ = mc²
静止質量mは自身でmc²のエネルギーを持つ
相対論的全エネルギー
E = γmc²
運動エネルギーを含む全エネルギー = γmc²
相対論的運動エネルギー
Ek = (γ - 1)mc²
全エネルギー − 静止エネルギー = 運動エネルギー
💣 1gが持つエネルギー
①E = mc² = 0.001 × (3×10⁸)² = 9 × 10¹³ J
②これはTNT約21.5キロトン相当(広島原爆規模!)
③太陽:毎秒約400万トンの質量をエネルギーに変換
④核分裂·核融合:質量の一部がエネルギーへ
⑤質量保存ではなく'質量+エネルギー'保存がより正確
例題で確認
例題 1
0.6c で運動する宇宙船で固有時間 4 秒が経過するとき、静止した地球の観測者が測る時間は?(γ = 1.25)
1
時間の遅れ Δt = γΔt₀ を使う。
Δt = γΔt₀
2
γ = 1.25, Δt₀ = 4 秒を代入する。
Δt = 1.25 × 4 = 5 秒
5 秒
動く時計は遅く進む(Δt > Δt₀)。固有時間 Δt₀ は事象が起こる系で測った値。
例題 2
固有長 100 m の宇宙船が 0.8c で運動するとき、地球の観測者が測る長さは?(γ = 5/3)
1
長さの収縮 L = L₀/γ を使う。
L = L₀γ
2
L₀ = 100 m, γ = 5/3 を代入する。
L = 1005/3 = 100 × 0.6 = 60 m
60 m
長さは運動方向のみ収縮(L < L₀)。γ = 5/3 なので 1/γ = 0.6、60% に縮む。
総まとめ
時間の遅れ
Δt = γΔt₀
遅い時計
長さの収縮
L = L₀γ
短くなる棒
質量-エネルギー
E = mc²
質量自体がエネルギー
共通テスト類題
静止質量 2 g の物質がすべてエネルギーに変換されるとき放出されるエネルギーは?(c = 3×10⁸ m/s)
9×10¹³ J
1.8×10¹⁴ J
6×10⁸ J
1.8×10¹¹ J
3.6×10¹⁴ J
② 1.8×10¹⁴ J
1
質量とエネルギーの等価 E = mc² を使う(SI: m = 0.002 kg)。
E = mc2
2
m = 0.002 kg, c = 3×10⁸ m/s を代入する。
E = 0.002 × (3×108)2 = 1.8×1014 J
🎯 試験ポイント
①γ = 1/√(1−v²/c²) — vがcに近いほど劇的に増加
②時間の遅れ:Δt = γΔt₀(動く時計が遅い)
③長さの収縮:L = L₀/γ(運動方向のみ収縮)
④E₀ = mc² — 静止エネルギー(質量とエネルギーの等価)
⑤ミューオン寿命延長、GPS補正 — 相対論の実生活応用
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