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単語帳
高校2~高校3年生 (16-18歳)

物質波と不確定性原理

Matter Wave & Uncertainty

光が波であり粒子なら、粒子も波ではないかというのがド·ブロイの発想です。 質量が小さいほど波長が長く波動性が見えやすく、電子は回折が観測できますが野球ボールの波長は原子より小さく見えません。 不確定性原理は位置と運動量を同時に正確には知られない限界を示します。 このページでは運動量と運動エネルギーをスライダーで変えながら、物質波の波長と不確定性の関係を確かめてみましょう。

物質も波?
💡 ド·ブロイの発想
①光が波であり粒子なら、粒子も波ではないか?
②1924年ド·ブロイ:'すべての物質は波動性を持つ'
③核心:質量が小さいほど波長が長く波動性が観測可能
④野球ボールの波長は10⁻³⁴ m — 原子より小さく観測不可
⑤電子の波長は~10⁻¹⁰ m — 原子サイズと近く回折観測可能!
ド·ブロイ波長と運動量
3
ド·ブロイ波長
λ = hp = hmv
波長 = プランク定数 / 運動量
📐 公式の解釈
①h = 6.63 × 10⁻³⁴ J·s(プランク定数 — 非常に小さい!)
②p = mv なので質量mが大きいほどλは極小
③運動量(速さ)が大きくなってもλは縮む
④結局電子のような軽い粒子でのみ波動性は意味を持つ
エネルギーと波長の関係
5
エネルギー-波長
λ = h√(2mE)
KE = p²/2m から導出
光子エネルギー
E = hf = hcλ
光子エネルギー = プランク定数 × 振動数
🔬 電子回折実験
①1927年デイヴィソンとガーマー:ニッケル結晶に電子を当てると回折縞が!
②電子が結晶格子間隔と近い波長を持つことを証明
③物質波の存在を初めて実験で確認
④これが電子顕微鏡の原理 — 光の代わりに電子の物質波を使う
ハイゼンベルクの不確定性原理
不確定性原理
Δx · Δp ≥ h
位置の不確定性 × 運動量の不確定性 ≥ h/4π
🔍 なぜ同時に正確に測れないか
①電子の位置を見るには光(光子)を当てねばならない
②波長が短い光 → 位置は正確だが強いエネルギーで運動量が変化
③波長が長い光 → 運動量の変化は小だが位置は不確定
④これは技術的限界ではなく自然の根本法則!
⑤巨視的物体ではhが小さすぎて不確定性は意味がない

比較

Chart古典力学 vs 量子力学
区分古典力学量子力学
粒子の位置正確に決定可Δxの不確定性あり
運動量正確に決定可Δpの不確定性あり
同時測定両方とも精密測定Δx·Δp ≥ h/4π の限界
適用対象巨視的物体電子、陽子など微視粒子
例題で確認
例題 1
粒子の運動量が 2 倍になると、ド・ブロイ波長は何倍になるか?
1
ド・ブロイ波長は λ = h/p で運動量に反比例する。
λ = hp
2
p が 2 倍なら λ は 1/2 倍。
p→2p ⇒ λ ∝ 12p = 12λ
1/2 倍
ド・ブロイ波長は運動量に反比例。速い・重い粒子ほど波長が短く波動性が見えにくい。
例題 2
粒子の運動エネルギーを 4 倍にすると、ド・ブロイ波長は何倍になるか?
1
λ = h/√(2mE) より波長は √E に反比例する。
λ = h√(2mE)
2
E が 4 倍なら √E は 2 倍 → λ は 1/2 倍。
E→4E ⇒ λ ∝ 1√(4E) = 12λ
1/2 倍
λ = h/√(2mE) で、エネルギー n 倍なら波長は 1/√n 倍。4 倍 → √4 = 2 で半分。
総まとめ
ド·ブロイ波長
λ = hmv
全ての物質の波長 = プランク定数 / 運動量
不確定性原理
Δx · Δp ≥ h
位置·運動量の同時精密測定不可
共通テスト類題
電子の位置をより正確に測り、位置の不確定性 Δx を 1/2 にすると、運動量の不確定性 Δp の最小値はどう変わるか?
12
変化なし
2 倍
4 倍
14
③ 2 倍
1
不確定性原理 Δx·Δp ≥ h/4π より積に下限がある。
Δx · Δp ≥ h
2
Δx が 1/2 倍なら下限を保つため Δp は 2 倍。
Δx→12Δx ⇒ Δp ≥ 2 × h4πΔx
🎯 試験ポイント
①ド·ブロイ波長:λ = h/p = h/mv(質量↑ → λ↓)
②電子回折実験 = 物質波の実験的証拠
③不確定性原理:Δx·Δp ≥ h/4π(自然の根本限界)
④巨視的物体:hが小さすぎて波動性·不確定性とも無視可能
⑤電子顕微鏡:電子物質波の波長が光より短く高解像度
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