seegongsik
高校2~高校3年生 (16-18歳)

標本平均の分布

Distribution of Sample Mean

標本を大きくすると平均が集まる
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👀 目で見る
①標本平均 X̄ も標本ごとに変わる確率変数
②n を大きくすると X̄ の分布が母平均を中心に次第に狭まる
③幅は σ/√n に比例 — n が 4 倍なら幅は半分
標本平均の平均と標準偏差
標本平均の期待値·標準偏差
E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n
母平均 m、母標準偏差 σ、標本の大きさ n — 平均はそのまま、標準偏差は 1/√n 倍
正規近似
n が十分大きいと X̄ ~ N(m, σ²/n)
母集団が正規分布でなくても n が大きいと X̄ は正規分布に近づく
√n の効果
📏 幅は √n に反比例
①σ(X̄)=σ/√n なので標準偏差は √n に反比例
②n を 4 倍にすると標準偏差は 1/2 倍
③精度を 2 倍にするには標本を 4 倍にする
直接求めてみる
例題 1
母平均 50、母標準偏差 8 の母集団から大きさ 16 の標本を取るとき、標本平均の平均と標準偏差を求めよ。
1
E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n に代入する。
E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16
2
√16=4 で計算する。
σ(X̄) = 8/4 = 2
▸ 平均 50, 標準偏差 2
平均は母平均のまま、標準偏差だけ √n で割る。
例題 2
同じ母集団で標本の大きさを 64 にすると、標本平均の標準偏差はどうなるか。
1
σ(X̄)=8/√64 である。
2
√64=8 で計算する。
σ(X̄) = 8/8 = 1
▸ 1 (n が 4 倍 → 標準偏差 1/2 倍)
n を 16→64 と 4 倍にすると標準偏差は 2→1 と半分になる。
まとめ
中心となる結果
E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n, (n 大) X̄ ~ N(m, σ²/n)
標本平均は平均 m、標準偏差 σ/√n の分布 — n 大なら正規分布
2021 修能 数学 類題
母標準偏差が 10 の母集団から大きさ 25 の標本を取るとき、標本平均の標準偏差は?
①0.4
②2
③5
④10
⑤50
▸ ② 2
1
σ(X̄)=σ/√n に σ=10, n=25 を入れる。
σ(X̄) = 10/√25
2
√25=5 で計算する。
σ(X̄) = 10/5 = 2
🎯 試験ポイント
①E(X̄)=m(母平均のまま)
②σ(X̄)=σ/√n(√n で割る)
③n 大なら X̄~N(m, σ²/n)
④精度 2 倍には標本 4 倍
⑤分散 V(X̄)=σ²/n と混同しない
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