標本平均の分布

Distribution of Sample Mean

母集団から標本を取り出して平均をとる作業を繰り返すと、その標本平均もひとつの分布を作ります。不思議なことに、標本平均の平均は母平均μのままですが、標準偏差はσ/√nに縮むので、標本を大きくするほど分布は母平均の周りに狭く集まります。幅は√nに反比例するので、標本を4倍にすると散らばりは半分になり、nが十分大きいと形は正規分布に近づきます。標本サイズnのスライダーを大きくして、標本平均の分布が母平均の周りに細く集まる様子を確かめましょう。

標本を大きくすると平均が集まる

標本の大きさ n16

👀 目で見る

①標本平均 X̄ も標本ごとに変わる確率変数

②n を大きくすると X̄ の分布が母平均を中心に次第に狭まる

③幅は σ/√n に比例 — n が 4 倍なら幅は半分

標本平均の平均と標準偏差

標本平均の期待値·標準偏差

E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n

母平均 m、母標準偏差 σ、標本の大きさ n — 平均はそのまま、標準偏差は 1/√n 倍

正規近似

n が十分大きいと X̄ ~ N(m, σ²/n)

母集団が正規分布でなくても n が大きいと X̄ は正規分布に近づく

√n の効果

📏 幅は √n に反比例

①σ(X̄)=σ/√n なので標準偏差は √n に反比例

②n を 4 倍にすると標準偏差は 1/2 倍

③精度を 2 倍にするには標本を 4 倍にする

直接求めてみる

例題 1

母平均 50、母標準偏差 8 の母集団から大きさ 16 の標本を取るとき、標本平均の平均と標準偏差を求めよ。

E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n に代入する。

E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16

√16=4 で計算する。

σ(X̄) = 8/4 = 2

▸ 平均 50, 標準偏差 2

平均は母平均のまま、標準偏差だけ √n で割る。

例題 2

同じ母集団で標本の大きさを 64 にすると、標本平均の標準偏差はどうなるか。

σ(X̄)=8/√64 である。

√64=8 で計算する。

σ(X̄) = 8/8 = 1

▸ 1 (n が 4 倍 → 標準偏差 1/2 倍)

n を 16→64 と 4 倍にすると標準偏差は 2→1 と半分になる。

まとめ

中心となる結果

E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n, (n 大) X̄ ~ N(m, σ²/n)

標本平均は平均 m、標準偏差 σ/√n の分布 — n 大なら正規分布

2021 修能数学類題

母標準偏差が 10 の母集団から大きさ 25 の標本を取るとき、標本平均の標準偏差は?

①0.4

②2

③5

④10

⑤50

▸ ② 2

σ(X̄)=σ/√n に σ=10, n=25 を入れる。

σ(X̄) = 10/√25

√25=5 で計算する。

σ(X̄) = 10/5 = 2

🎯 試験ポイント

①E(X̄)=m(母平均のまま)

②σ(X̄)=σ/√n(√n で割る)

③n 大なら X̄~N(m, σ²/n)

④精度 2 倍には標本 4 倍

⑤分散 V(X̄)=σ²/n と混同しない

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統計的推定

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