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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数A 標本平均の分布 わかりやすく

Distribution of Sample Mean

母集団から大きさ n の標本を取って平均を出すことを何度もくり返すと、その標本平均たちも 1 つの分布をつくります。 標本平均の平均は母平均 μ と同じですが、標準偏差は σ/√n に縮むので、標本が大きいほど標本平均は母平均の近くに集まります。 幅が √n に反比例するので、標本を 4 倍にすると散らばりは半分になり、n が十分大きければ母集団の形に関係なく分布は正規分布に近づきます。 標本の大きさ n のスライダーを大きくすると、薄い点線の母集団の分布に比べて青い標本平均の分布が μ のまわりに細く集まり、その標準偏差が σ の何倍かが図の下に書かれます。

標本を大きくすると平均が集まる

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👀 図の読み方
①標本平均 X̄ も、標本ごとに値が変わる確率変数である
②薄い点線は母集団の分布で、青い曲線は大きさ n の標本の平均 X̄ の分布である
③n が大きくなると X̄ の分布は μ を中心に狭く高くなり、塗った帯 μ ± σ/√n に X̄ の約 68% が入る
④図では母集団を正規分布で描いたが、中心極限定理によれば、母集団が正規分布でなくても n が大きければ X̄ は正規分布に近づく

標本平均の平均と標準偏差

標本平均の期待値と標準偏差
E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n
母平均 μ、母標準偏差 σ、標本の大きさ n。平均はそのままで、標準偏差は 1/√n 倍になる
正規分布による近似
n が十分大きいと X̄ ~ N(μ, σ²/n)
母集団が正規分布でなくても、n が大きければ X̄ は正規分布に近づく

√n の効果

📏 幅は √n に反比例する
①σ(X̄) = σ/√n なので、標準偏差は √n に反比例する
②n を 4 倍にすると標準偏差は 1/2 倍になる
③散らばりを半分にするには標本を 4 倍に、10 分の 1 にするには 100 倍にする必要がある

例題

例題 1
母平均 50、母標準偏差 8 の母集団から大きさ 16 の標本を取るとき、標本平均の平均と標準偏差を求めよ。
1
E(X̄) = μ、σ(X̄) = σ/√n に代入する。
E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16
2
√16 = 4 で割る。
σ(X̄) = 8/4 = 2
▸ 平均 50、標準偏差 2
平均は母平均のままで、標準偏差だけを √n で割る。
例題 2
同じ母集団で標本の大きさを 64 にすると、標本平均の標準偏差はいくらになるか。
1
σ(X̄) = 8/√64 である。
2
√64 = 8 で割る。
σ(X̄) = 8/8 = 1
▸ 1（n が 4 倍になり、標準偏差は 1/2 倍）
n を 16 から 64 へ 4 倍にすると、標準偏差は 2 から 1 へ半分になる。

まとめ

要点
E(X̄)=μ, σ(X̄)=σ/√n, (n 大) X̄ ~ N(μ, σ²/n)
標本平均は平均 μ、標準偏差 σ/√n の分布にしたがい、n が大きければ正規分布に近い
2021 韓国修能 数学 類題
母標準偏差が 10 の母集団から大きさ 25 の標本を取るとき、標本平均の標準偏差は？
①0.4
②2
③5
④10
⑤50
▸ ② 2
1
σ(X̄) = σ/√n に σ = 10、n = 25 を代入する。
σ(X̄) = 10/√25
2
√25 = 5 で割る。
σ(X̄) = 10/5 = 2
🎯 試験のポイント
①E(X̄) = μ で母平均と等しい
②σ(X̄) = σ/√n なので √n で割る
③n が大きければ X̄ は N(μ, σ²/n) に近い
④散らばりを半分にするには標本を 4 倍にする
⑤分散 V(X̄) = σ²/n と標準偏差 σ/√n を混同しない
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最終更新

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