数学Ⅱ›関数の極限と連続

関数の極限

Limit of a Function

極限とは

🎯 極限の核心

①「x が a に限りなく近づくとき、f(x) は何に近づくか?」

②実際に x = a に到達する必要はない — 「傾向」が重要

③左極限と右極限が一致すれば極限値が存在

接近度 t20 %

💡 観察ポイント

①青い点（左極限）と橙の点（右極限）が y=2 に近づく

②f(1) は未定義（白丸）だが極限値は 2

③(x²−1)/(x−1) を因数分解：(x+1)(x−1)/(x−1) = x+1

イプシロン-デルタ定義

ε（許容誤差）1.5

極限の定義（ε-δ）

lim_x→a f(x) = L

任意の ε > 0 に対し δ > 0 が存在し、0 < |x − a| < δ ならば |f(x) − L| < ε

🔑 ε-δ の読み方

①ε は y 軸方向の許容誤差（橙帯）

②δ は x 軸方向の制限（青帯）

③どんな ε にも δ を見つけられれば極限が存在

極限の基本性質

定数 k2

極限の四則

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

それぞれの極限が存在するときに成立（分母 ≠ 0）

定数倍

lim k·f(x) = k · lim f(x)

定数は極限の外へ

主要な極限値

三角関数の基本極限

lim_x→0 sin xx = 1

弧度法基準

自然指数の極限

lim_x→0 e^x - 1x = 1

自然定数 e の定義から導出

自然対数の極限

lim_x→0 ln(1 + x)x = 1

上から置換で導出

まとめ

極限の定義

lim_x→a f(x) = L ⟺ 左極限 = 右極限 = L

両側が同じ値に収束する必要がある

🎯 試験ポイント

①左極限 ≠ 右極限なら極限は存在しない

②f(a) と極限値は別物 — f(a) が未定義でも極限は存在しうる

③0/0 形は因数分解・有理化・ロピタルなどで解決

④sin x/x → 1、(e^x − 1)/x → 1 は必須暗記

⑤極限の四則は各極限が存在するときのみ