高校2~高校3年生 (16-18歳)

数II 関数の極限わかりやすく

Limit of a Function

極限とは、x をある値に限りなく近づけたとき、関数の値がどこに近づくかをたずねることです。その場所に実際にたどり着く必要はなく、関数がその場所で定義されていなくてもかまいません。穴のあいた場所でも、両側から近づく値が同じなら、極限ははっきり存在します。 1つ目の図で近づき方の度合いを上げると、左の青い点と右のオレンジの点が穴のあいた x = 1 に近づき、2つの点の関数の値がどちらも2に集まります。

極限とは

x = 1 では (x² − 1)/(x − 1) の分母が0になり、値を計算できない。それでも、x = 0.9 なら1.9、x = 1.1 なら2.1、x = 0.99 なら1.99 のように、まわりの値はそろって2のほうへ集まる。関数の極限とは、このようにその点には入らずに、まわりの値がどこに集まるかをたずねる考え方である。

🎯 極限の考え方

①x を a に限りなく近づけたとき、f(x) がどんな値に近づくかをたずねる

②x が実際に a に到達する必要はなく、近づいていく間の値だけを見る

③左から近づくときの左側極限と、右から近づくときの右側極限が等しいとき、極限値が存在する

④f(a) が定義されていなくても、極限が存在することがある

近づき方 t20 %

1つ目の図の緑の直線は y = x + 1 と同じだが、x = 1 に赤い白ぬきの円があいている。近づき方の度合い t を大きくすると、青い点は左から、オレンジの点は右から x = 1 に近づき、上に2つの点の x と f(x) が書かれる。t = 95 % のとき、2つの点は x = 0.9 と1.1にあり、関数の値は1.9と2.1である。2つ目の図で ε を小さくするとオレンジの帯が細くなり、グラフがその中に入るように青い帯 δ = ε/2 もいっしょに細くなる。

💡 図で見るところ

①青い点（左）とオレンジの点（右）がどちらも高さ2に近づく

②f(1) は定義されない（白ぬきの円）が、極限値は2である

③分子を因数分解すると (x + 1)(x − 1)/(x − 1) で、x ≠ 1 なら x + 1 と等しい

ε-δ で正確に述べる（発展）

赤い白ぬきの円を見て極限がないと考えがちだが、白ぬきの円は x = 1 で関数の値がないという印にすぎない。両側の点は同じ高さ2に集まるので、極限は2である。逆に、関数の値 f(a) があっても、それがそのまま極限値になるとはかぎらない。左側極限と右側極限が異なれば、f(a) があっても極限は存在しない。また 0/0 の形にそのまま値を代入すると式が成り立たなくなるので、先に約分できる因数があるかを見る。

ε（許す誤差）1.5

極限の定義（ε-δ）

lim_x→a f(x) = L

どんな ε > 0 に対しても適当な δ > 0 があって、0 < |x − a| < δ ならば |f(x) − L| < ε となる

🔑 ε-δ の読み方

①ε は y の向きに許す誤差の幅（オレンジの帯）である

②δ は、x をその中にとれば f(x) が ε の帯に入る、x の向きの幅（青い帯）である

③ε をどれほど小さくとっても適当な δ がいつも見つかれば、極限が存在する

④この定義は高校の範囲をこえる発展的な内容である

極限の基本的な性質

定数 k2

極限の四則演算

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

極限値が存在するとき、和・差・積・商の極限はそれぞれの極限値から計算する（商では分母の極限が0でないとき）

定数倍

lim k·f(x) = k · lim f(x)

定数は極限の外に出せる

先取りする極限（数学Ⅲ）

三角関数の極限

lim_x→0 sin xx = 1

数学Ⅲで扱う。x は弧度法ではかる

指数関数の極限

lim_x→0 e^x - 1x = 1

数学Ⅲで扱う。e は自然対数の底である

対数関数の極限

lim_x→0 ln(1 + x)x = 1

数学Ⅲで扱う。上の式から置きかえで得られる

まとめ

極限の定義

lim_x→a f(x) = L ⟺ 左側極限 = 右側極限 = L

両側から同じ値に近づくとき、極限が存在する

🎯 試験ポイント

①左側極限と右側極限が異なれば、極限は存在しない

②f(a) と極限値は別の考えで、f(a) がなくても極限は存在しうる

③0/0 の形は、因数分解や有理化で約分してから代入する

④極限の四則演算は、それぞれの極限値が存在するときだけ使える

⑤商の極限で分母の極限が0になるときは、別に考える必要がある

例題と過去問

例題 1

lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2) を求めよ。

x = 2 を代入すると 0/0 になるので、分子を因数分解して約分する。

x² - 4x - 2 = (x+2)(x-2)x-2 = x + 2

約分した x + 2 に x = 2 を代入する。

lim_x→2 (x + 2) = 4

▸ 4

約分は x ≠ 2 のときしかできないが、極限は x = 2 そのものではなくまわりの値だけを見るので問題はない。

例題 2

lim_x→0 (sin 3x)/x を求めよ。

sin x / x → 1 を使うには、分母を sin の中の 3x にそろえる必要がある。

sin 3xx = 3 × sin 3x3x

x → 0 のとき 3x → 0 なので、sin 3x / 3x → 1 である。

3 × 1 = 3

▸ 3

sin の中の式と分母が同じ形のときだけ極限は1になる。だから3をかけて割り、形をそろえる。

2023 韓国修能数学類題

lim_x→1 (x² + 2x − 3)/(x − 1) の値は？

①4

②0

③2

④3

⑤極限なし

▸ ① 4

x = 1 を代入すると 0/0 なので、分子を (x + 3)(x − 1) と因数分解する。

x² + 2x - 3x - 1 = (x+3)(x-1)x-1 = x + 3

約分した x + 3 に x = 1 を代入する。

lim_x→1 (x + 3) = 4

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漸化式

関数の連続

最終更新 2026-10-17

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