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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数II 定積分の活用 わかりやすく

Applications of Definite Integrals

定積分は、曲線の下の面積を求めるだけの道具ではありません。 細かく分けて足し合わせるという同じ考え方1つで、2つの曲線の間の面積、回転体の体積、速度のグラフから動いた距離まで求められます。 見かけは違う問題でも、小さな一切れの量を決めてから定積分で集めるという点ではどれも同じです。 1つ目の図では a と b を動かして2曲線の間の面積を、2つ目の図では b を変えて回転体の体積を、3つ目の図では時刻 t までに動いた距離を見ることができます。

2つの曲線の間の面積

📐 2曲線の間の面積のこつ
①2つの関数 f(x), g(x) の間の面積は |f(x) − g(x)| を積分して求める
②上にある関数から下にある関数を引く
③先に交点を求めて積分区間を決める
④図で b を1.56より右へ動かすと2つのグラフの上下が入れかわるが、そのときも面積は差の絶対値で足される
-1.5
1.5
2 曲線の間の面積
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
上の関数から下の関数を引いて積分する。上下が入れかわるところがあれば絶対値を使う

面積の求め方の手順

x 軸と曲線の間の面積
S = ∫ab |f(x)| dx
曲線が x 軸より下に出る部分があれば、区間を分けて計算する
y 軸と曲線の間の面積（x = g(y)）
S = ∫cd |g(y)| dy
x と y の役割を入れかえて、y について積分したほうが楽な場合に使う
💡 面積を求める手順
①交点を求める：f(x) = g(x) または f(x) = 0
②どちらの関数が上にあるかを見分ける
③上下が入れかわる点で区間を分ける
④区間ごとに積分して足す

回転体の体積

2
x 軸のまわりの回転体の体積
V = π ∫ab [f(x)]² dx
断面は半径 f(x) の円なので、断面積は π[f(x)]² である
y 軸のまわりの回転体の体積
V = π ∫cd [g(y)]² dy
y 軸のまわりに回すときは x = g(y) とおいて y について積分する
🔑 回転体の体積のこつ
①どの軸のまわりに回すかを先に確かめる
②x 軸のまわり：半径は |f(x)|、x について積分する
③y 軸のまわり：半径は |g(y)|、y について積分する
④回転体の体積は数学Ⅲでくわしく扱い、ここではその入り口である

速度と動いた距離

2 s
動いた距離
距離 = ∫ab |v(t)| dt
速度の絶対値を積分すると、実際に動いた距離が求められる
💡 位置の変化と動いた距離
①位置の変化量は v(t) をそのまま積分した値なので、逆向きに進んだぶんだけ減る
②動いた距離は |v(t)| を積分した値なので、いつも0以上である
③v(t) ≥ 0 の区間では2つの値は等しい

まとめ

2曲線の間の面積
∫|f − g| dx
交点で区間を分ける
回転体の体積
π∫[f(x)]² dx
断面の円板の面積を積分する
🎯 試験ポイント
①面積の問題：交点 → 上下関係 → 区間ごとに積分 → 足す
②絶対値は x 軸の上と下で区間を分けて扱う
③回転体：どの軸のまわりか、半径は何かを先に決める
④動いた距離は |v(t)| の積分、位置の変化量は v(t) の積分
⑤x = g(y) に直して y で積分すると楽になることが多い

例題と過去問

例題 1
曲線 y = x² と直線 y = x で囲まれた部分の面積を求めよ。
1
x² = x から交点は x = 0, 1 で、その間では直線 y = x が曲線 y = x² より上にある。
S = ∫01 (x - x2) dx
2
上の関数から下の関数を引いた x − x² を、0から1まで積分する。
[x22 - x33]01 = 12 - 13 = 16
▸ 1/6
順番を逆にして x² − x を積分すると −1/6 になる。面積はいつも上から下を引いて求める。
例題 2
曲線 y = √x (0 ≤ x ≤ 4)を x 軸の周りに回転した回転体の体積を求めよ。
1
x 軸のまわりに回転させると、x で切った断面は半径 √x の円なので、面積は π(√x)² = πx である。
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx
2
断面の面積 πx を0から4まで積分する。
π [x22]04 = π × 8 = 8π
▸ 8π
2つ目の図では b = 4 にはできないが、図の式 πb²/2 に b = 4 を代入しても 8π になる。
2023 韓国修能 数学 類題
曲線 y = x² と x 軸、直線 x = 2 で囲まれた部分の面積は？
①8/3
②4
③2
④8
⑤4/3
▸ ① 8/3
1
0 ≤ x ≤ 2 で y = x² は x 軸より上にあるので、面積は x² を0から2まで積分した値である。
S = ∫02 x2 dx
2
x³/3 に2と0を代入して引く。
[x33]02 = 83
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定積分
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順列

最終更新

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