定積分の活用 Applications of Definite Integrals
定積分は、面積を求めるためだけの道具ではありません。
細かく分けて足し合わせるという同じ発想だけで、2 曲線の間の面積も、回転体の体積も、速度のグラフから移動距離までも求められます。
一見まったく別に見える問題が、結局はすべて一つの定積分につながるというのが、この単元の核心です。
下限 a と上限 b のスライダーを動かして、2 曲線に挟まれた塗り領域とその面積の値がどう変わるかを確かめてみましょう。
2 曲線の間の面積
📐 曲線の間の面積の核心
①f(x), g(x) の間の面積 = ∫|f(x) − g(x)| dx
②上 − 下を積分
③交点を先に求め積分区間を決定!
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2 曲線 f(x), g(x) の間の塗り面積を定積分で計算 2 曲線の間の面積
S = ∫ a b |f(x) − g(x)| dx
上の関数から下の関数を引いて積分（絶対値注意）
面積計算戦略
x 軸と曲線の間の面積
S = ∫ a b |f(x)| dx
x 軸下にあれば区間を分けて計算
y 軸と曲線の間の面積（x = g(y)）
S = ∫ c d |g(y)| dy
x と y の役割を入れ替え y で積分する方が簡単な場合
💡 計算手順
①交点を求める：f(x) = g(x) または f(x) = 0
②上下関係を判定
③上下が入れ替わる点で分割
④区間ごとに積分 → 合算
回転体の体積
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y = √x を x 軸まわりに回転 — ディスク法 x 軸まわり回転体（ディスク法）
V = π ∫ a b [f(x)]² dx
断面が円 → 半径 = f(x)、面積 = π[f(x)]²
y 軸まわり回転体
V = π ∫ c d [g(y)]² dy
y 軸回転は x = g(y) として y で積分
🔑 回転体体積の核心
①どの軸まわりかをまず把握
②x 軸：半径 = |f(x)|、変数 = x
③y 軸：半径 = |g(y)|、変数 = y
速度と距離
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速度-時間グラフ下の面積 = 移動距離 移動距離
距離 = ∫ a b |v(t)| dt
速度の絶対値の積分が実際の距離
💡 変位 vs 距離
①変位 = ∫v(t)dt（符号あり）
②距離 = ∫|v(t)|dt（常に非負）
③v(t) ≥ 0 区間では変位 = 距離
まとめ
曲線の間の面積
∫|f − g| dx
交点で区間分割
🎯 試験ポイント
①面積：交点 → 上下 → 区間別積分 → 合算
②絶対値：x 軸の上下で分割
③回転体：軸と半径を把握
④速度 → 距離：∫|v(t)|dt、変位：∫v(t)dt
⑤y で積分する方が易しいことも
例題と過去問
例題 1
曲線 y = x² と直線 y = x で囲まれた部分の面積を求めよ。
1 交点(x = 0, 1)を求め、0 ≤ x ≤ 1 で上の関数(x)から下の関数(x²)を引く。
S = ∫ 0 1 (x - x 2 ) dx
2 積分して計算する。
[ x 2 2 - x 3 3 ] 0 1 = 1 2 - 1 3 = 1 6
▸ 1/6
2曲線の間の面積は(上の関数 − 下の関数)を交点の間で積分する。
例題 2
曲線 y = √x (0 ≤ x ≤ 4)を x 軸の周りに回転した回転体の体積を求めよ。
1 円板法 V = π∫ a b [f(x)]² dx を使う。[√x]² = x。
V = π ∫ 0 4 (√x) 2 dx = π ∫ 0 4 x dx
2 積分して計算する。
π [ x 2 2 ] 0 4 = π × 8 = 8π
▸ 8π
x 軸回転体の体積は断面の円の面積 π[f(x)]² を積分する。
2023 修能 数学 類題
曲線 y = x² と x 軸、直線 x = 2 で囲まれた部分の面積は？
▸ ① 8/3
1 x 軸と曲線の間の面積は S = ∫ 0 2 x² dx。
S = ∫ 0 2 x 2 dx