数学Ⅱ›積分

定積分の活用

Applications of Definite Integrals

2 曲線の間の面積
📐 曲線の間の面積の核心
①f(x), g(x) の間の面積 = ∫|f(x) − g(x)| dx
②上 − 下を積分
③交点を先に求め積分区間を決定!
-1.5
1.5
2 曲線の間の面積
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
上の関数から下の関数を引いて積分（絶対値注意）
面積計算戦略
x 軸と曲線の間の面積
S = ∫ab |f(x)| dx
x 軸下にあれば区間を分けて計算
y 軸と曲線の間の面積（x = g(y)）
S = ∫cd |g(y)| dy
x と y の役割を入れ替え y で積分する方が簡単な場合
💡 計算手順
①交点を求める：f(x) = g(x) または f(x) = 0
②上下関係を判定
③上下が入れ替わる点で分割
④区間ごとに積分 → 合算
回転体の体積
2
x 軸まわり回転体（ディスク法）
V = π ∫ab [f(x)]² dx
断面が円 → 半径 = f(x)、面積 = π[f(x)]²
y 軸まわり回転体
V = π ∫cd [g(y)]² dy
y 軸回転は x = g(y) として y で積分
🔑 回転体体積の核心
①どの軸まわりかをまず把握
②x 軸：半径 = |f(x)|、変数 = x
③y 軸：半径 = |g(y)|、変数 = y
速度と距離
2 s
移動距離
距離 = ∫ab |v(t)| dt
速度の絶対値の積分が実際の距離
💡 変位 vs 距離
①変位 = ∫v(t)dt（符号あり）
②距離 = ∫|v(t)|dt（常に非負）
③v(t) ≥ 0 区間では変位 = 距離
まとめ
曲線の間の面積
∫|f − g| dx
交点で区間分割
回転体体積
π∫[f(x)]² dx
ディスク法
🎯 試験ポイント
①面積：交点 → 上下 → 区間別積分 → 合算
②絶対値：x 軸の上下で分割
③回転体：軸と半径を把握
④速度 → 距離：∫|v(t)|dt、変位：∫v(t)dt
⑤y で積分する方が易しいことも