数学Ⅱ›積分

不定積分

Indefinite Integral

積分は微分の逆

🔄 不定積分の核心

①「微分して元になる関数は何か?」

②微分の逆演算：F'(x) = f(x) となる F(x) を求める

③定数 C を加えても微分で消える → 答えは無限に多い!

原始関数の族

積分定数 C0

不定積分の定義

∫ f(x) dx = F(x) + C （F'(x) = f(x)）

f(x) のすべての原始関数 — C は積分定数

💡 積分定数 C の意味

①C は初期条件で決まる

②例：v(t) = 2t を積分 → s(t) = t² + C、C = s(0)

③C を忘れると減点!

微分・積分の逆関係

冪 n2

冪の積分

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

微分公式 (xⁿ)' = nx^n-1 の逆

基本積分公式

定数倍・和・差

∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx

定数は外、和・差は各項別

定数

∫ k dx = kx + C

1 次

∫ x dx = x²/2 + C

2 次

∫ x² dx = x³/3 + C

n 次

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

まとめ

不定積分の核心

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

微分の逆 + 積分定数 C

🎯 試験ポイント

①不定積分 = 微分の逆。必ず + C

②∫x^n dx は n ≠ -1

③多項式は項別に積分

④初期条件で C を決定

⑤検算：結果を微分すると元の被積分関数