seegongsik
高校2~高校3年生 (16-18歳)

数II 不定積分 わかりやすく

Indefinite Integral

不定積分は微分を逆にたどり、微分すると与えられた関数になるもとの関数を探すことです。 定数は微分すると0になって消えるので、そのようなもとの関数は1つではなく、定数だけ異なるものが限りなくあります。 そのため不定積分の結果には、消えた定数の場所をうめる積分定数 C をいつもつけます。 1つ目の図で C を変えると、x² + C の曲線は形はそのままで上下に動くだけで、x = 1 での接線の傾きはどれも2で同じです。

積分は微分の逆

🔄 不定積分の考え方
①微分すると f(x) になる関数 F(x) を探す
②つまり F'(x) = f(x) となる F(x) が f(x) の不定積分である
③F(x) にどんな定数を足しても微分した結果は同じなので、答えは限りなくある

不定積分は曲線の集まり

0
不定積分の定義
∫ f(x) dx = F(x) + C （F'(x) = f(x)）
f(x) の不定積分全体を表し、C は積分定数である
💡 積分定数 C の意味
①C は、はじめの値のような条件が与えられて決まる
②たとえば速度 v(t) = 2t を積分すると位置 s(t) = t² + C で、C = s(0) である
③不定積分を求めるときは + C を忘れない

微分と積分はたがいに逆

2
冪の積分
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)
微分の公式 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ を逆に使ったものである

基本積分公式

定数倍と和・差
∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx
定数倍は積分の外に出し、和と差はそれぞれ積分する
定数
∫ k dx = kx + C
1次
∫ x dx = x²/2 + C
2次
∫ x² dx = x³/3 + C
n 次
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)

まとめ

不定積分の核心
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)
微分を逆にして積分定数 C をつける
🎯 試験ポイント
①不定積分は微分の逆の演算で、+ C を必ずつける
②xⁿ を積分すると指数は n + 1 になり、前に 1/(n + 1) がつく
③多項式で表された関数は項ごとに積分してから足す
④はじめの値のような条件が与えられれば C を決められる
⑤検算：求めた不定積分を微分して、もとの関数になるかを確かめる

例題と過去問

例題 1
∫ (3x² + 2x) dx を求めよ。
1
各項に ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) をあてはめる。
∫ 3x2 dx = x3, ∫ 2x dx = x2
2
最後に積分定数 C をつける。
∫ (3x2 + 2x) dx = x3 + x2 + C
▸ x³ + x² + C
x³ + x² + C を微分すると 3x² + 2x になるので、正しく求められたことが確かめられる。
例題 2
F'(x) = 2x + 1 で F(0) = 3 のとき、F(x) を求めよ。
1
2x + 1 を積分すると F(x) = x² + x + C である。
F(x) = x2 + x + C
2
F(0) = 3 を代入して C を決める。
F(0) = C = 3 ⟹ F(x) = x2 + x + 3
▸ F(x) = x² + x + 3
曲線の集まりの中から、点 (0, 3) を通る1本を選ぶことにあたる。条件1つが C を1つに決める。
2023 韓国修能 数学 類題
∫ (6x² − 4x) dx を求めると？（C は積分定数）
①2x³ − 2x² + C
②2x³ − 4x² + C
③6x³ − 4x² + C
④x³ − x² + C
⑤12x − 4 + C
▸ ① 2x³ − 2x² + C
1
項ごとに積分すると、6x² は 2x³、4x は 2x² になる。
∫ 6x2 dx = 2x3, ∫ 4x dx = 2x2
2
引く符号はそのままで、積分定数 C をつける。
2x3 - 2x2 + C
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最終更新

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