不定積分

Indefinite Integral

不定積分は、微分を逆にたどるとどんな関数になるかを探すものです。微分すると今の関数になる元の関数を探すのですが、定数は微分すると消えてしまうため、答えは一つではなく無数にあります。だからこそ、不定積分の答えには消えた定数の代わりに積分定数 C を必ず付けます。積分定数 C のスライダーを動かして、x² + C のグラフが形はそのままに上下へ平行移動する様子を確かめてみましょう。

積分は微分の逆

🔄 不定積分の核心

①「微分して元になる関数は何か?」

②微分の逆演算：F'(x) = f(x) となる F(x) を求める

③定数 C を加えても微分で消える → 答えは無限に多い!

原始関数の族

積分定数 C0

不定積分の定義

∫ f(x) dx = F(x) + C （F'(x) = f(x)）

f(x) のすべての原始関数 — C は積分定数

💡 積分定数 C の意味

①C は初期条件で決まる

②例：v(t) = 2t を積分 → s(t) = t² + C、C = s(0)

③C を忘れると減点!

微分・積分の逆関係

冪 n2

冪の積分

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

微分公式 (xⁿ)' = nx^n-1 の逆

基本積分公式

定数倍・和・差

∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx

定数は外、和・差は各項別

定数

∫ k dx = kx + C

1 次

∫ x dx = x²/2 + C

2 次

∫ x² dx = x³/3 + C

n 次

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

まとめ

不定積分の核心

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C

微分の逆 + 積分定数 C

🎯 試験ポイント

①不定積分 = 微分の逆。必ず + C

②∫x^n dx は n ≠ -1

③多項式は項別に積分

④初期条件で C を決定

⑤検算：結果を微分すると元の被積分関数

例題と過去問

例題 1

∫ (3x² + 2x) dx を求めよ。

各項に ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) を適用する。

∫ 3x² dx = x³, ∫ 2x dx = x²

積分定数 C を付ける。

∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C

▸ x³ + x² + C

不定積分は微分の逆演算で、必ず積分定数 + C を付ける。

例題 2

F'(x) = 2x + 1 で F(0) = 3 のとき、F(x) を求めよ。

F(x) = ∫ (2x + 1) dx = x² + x + C。

F(x) = x² + x + C

F(0) = 3 を使って C を定める。

F(0) = C = 3 ⟹ F(x) = x² + x + 3

▸ F(x) = x² + x + 3

初期条件があれば積分定数 C を具体的に定められる。

2023 修能数学類題

∫ (6x² − 4x) dx を求めると？ (C は積分定数)

①2x³ − 2x² + C

②2x³ − 4x² + C

③6x³ − 4x² + C

④x³ − x² + C

⑤12x − 4 + C

▸ ① 2x³ − 2x² + C

各項を積分する。∫ 6x² dx = 2x³, ∫ 4x dx = 2x²。

∫ 6x² dx = 2x³, ∫ 4x dx = 2x²

符号と積分定数を付ける。

2x³ - 2x² + C