数学Ⅱ›微分

微分係数と導関数

Derivative and Differentiation

微分の核心アイデア

💡 微分とは?

①「瞬間の変化率」を求めること

②平均変化率（割線の傾き）から Δx → 0 で → 瞬間変化率（接線の傾き）

③曲線上の一点における傾きを正確に求められる

割線から接線へ

点 a の位置1

Δx（幅）1.5

微分係数の定義

f'(a) = lim_Δx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx

x = a での瞬間変化率 = 接線の傾き

🔑 割線 → 接線の過程

①割線：2 点を通る直線 → 平均変化率

②Δx を縮めると 2 つ目の点が 1 つ目に近づく

③Δx → 0 極限：割線 → 接線（瞬間変化率）

基本微分公式

冪の微分

(xⁿ)' = nx^n-1

n が実数で成立 — 微分の基礎

定数倍・和・差の微分

(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'

定数は外、和差は項別

積の微分

(fg)' = f'g + fg'

前を微分・後そのまま + 前そのまま・後を微分

商の微分

(fg)' = f'g - fg'g²

（分子の微分 × 分母 − 分子 × 分母の微分） / 分母の 2 乗

導関数の意味

x 位置0

💡 f(x) と f'(x) の関係

①f'(x) > 0 → f(x) 増加

②f'(x) < 0 → f(x) 減少

③f'(x) = 0 → 極大・極小の候補

まとめ

微分係数

f'(a) = lim_h→0 f(a+h) - f(a)h

点 a の接線の傾き

🎯 試験ポイント

①微分可能 → 連続（逆は不成立：|x| は x=0 で連続でも微分不可）

②(x^n)' = nx^{n-1} が基礎

③積の微分：f'g + fg'

④f'(a) = 0 の点で極値判定（符号変化を確認）

⑤接線：y − f(a) = f'(a)(x − a)