微分係数と導関数

Derivative and Differentiation

微分は、今この瞬間に関数がどれだけ速く変化しているかをぴたりと捉える道具です。 2 点を結ぶ割線の傾き（平均変化率）から出発し、2 点の間隔を 0 へ縮めていくと、曲線にそっと触れる接線の傾き（瞬間変化率）になります。こうして得た接線の傾きこそ、その点における微分係数です。 Δx スライダーを小さくして、青い割線が橙色の接線へすっと重なる瞬間を確かめてみましょう。

微分の核心アイデア

💡 微分とは?

①「瞬間の変化率」を求めること

②平均変化率（割線の傾き）から Δx → 0 で → 瞬間変化率（接線の傾き）

③曲線上の一点における傾きを正確に求められる

割線から接線へ

点 a の位置1

Δx（幅）1.5

微分係数の定義

f'(a) = lim_Δx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx

x = a での瞬間変化率 = 接線の傾き

🔑 割線 → 接線の過程

①割線：2 点を通る直線 → 平均変化率

②Δx を縮めると 2 つ目の点が 1 つ目に近づく

③Δx → 0 極限：割線 → 接線（瞬間変化率）

基本微分公式

冪の微分

(xⁿ)' = nx^n-1

n が実数で成立 — 微分の基礎

定数倍・和・差の微分

(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'

定数は外、和差は項別

積の微分

(fg)' = f'g + fg'

前を微分・後そのまま + 前そのまま・後を微分

商の微分

(fg)' = f'g - fg'g²

（分子の微分 × 分母 − 分子 × 分母の微分） / 分母の 2 乗

導関数の意味

x 位置0

💡 f(x) と f'(x) の関係

①f'(x) > 0 → f(x) 増加

②f'(x) < 0 → f(x) 減少

③f'(x) = 0 → 極大・極小の候補

まとめ

微分係数

f'(a) = lim_h→0 f(a+h) - f(a)h

点 a の接線の傾き

🎯 試験ポイント

①微分可能 → 連続（逆は不成立：|x| は x=0 で連続でも微分不可）

②(x^n)' = nx^{n-1} が基礎

③積の微分：f'g + fg'

④f'(a) = 0 の点で極値判定（符号変化を確認）

⑤接線：y − f(a) = f'(a)(x − a)

例題と過去問

例題 1

f(x) = x² のとき、微分係数の定義を用いて f'(2) を求めよ。

定義に代入する。f'(2) = lim_h→0 [f(2+h) − f(2)]/h。

f'(2) = lim_h→0 (2+h)² - 2²h

展開・約分して h → 0 とする。

= lim_h→0 4h + h²h = lim_h→0 (4 + h) = 4

▸ f'(2) = 4

微分係数は接線の傾きで、定義は平均変化率の極限。

例題 2

f(x) = x³ − 2x² + 5 の導関数 f'(x) を求めよ。

べき乗の微分 (xⁿ)' = nx^n-1 を各項に適用する。

(x³)' = 3x², (2x²)' = 4x, (5)' = 0

項ごとにまとめる。

f'(x) = 3x² - 4x

▸ f'(x) = 3x² − 4x

多項式は各項にべき乗の微分を適用する(定数の微分は 0)。

2023 修能数学類題

f(x) = x² + 3x の x = 1 における微分係数 f'(1) の値は？

①5

②4

③2

④3

⑤8

▸ ① 5

導関数を求める。f'(x) = 2x + 3。

f'(x) = (x²)' + (3x)' = 2x + 3

x = 1 を代入する。

f'(1) = 2(1) + 3 = 5