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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数II 微分係数と導関数 わかりやすく

Derivative and Differentiation

微分は、関数がまさにその瞬間にどれだけ速く変わっているかをはかる方法です。 2点を結ぶ割線の傾きである平均変化率から出発し、2点の間の幅を0に近づけていくと、曲線に1点で接する接線の傾きである瞬間の変化率になります。 こうして得た接線の傾きがその点での微分係数で、x ごとに微分係数を対応させた関数が導関数です。 1つ目の図で Δx を小さくすると青い割線がオレンジの接線に重なっていき、2つ目の図では上の f(x) と下の導関数 f'(x) を同じ x で比べられます。

微分の考え方

💡 微分とは
①ある瞬間の変化率を求めることである
②平均変化率（割線の傾き）で Δx → 0 とすると、瞬間の変化率（接線の傾き）になる
③だから曲線上の1点での傾きを正確に求められる
④微分可能なら連続だが、その逆は成り立たない。y = |x| は x = 0 で連続だが、とがっているので微分できない

割線から接線へ

1
1.5
微分係数の定義
f'(a) = limΔx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx
x = a での瞬間の変化率、つまり接線の傾きである
🔑 割線が接線になるまで
①割線は曲線上の2点を通る直線で、その傾きは平均変化率である
②f(x) = x² なら割線の傾きは 2a + Δx である
③Δx → 0 とすると割線の傾きは 2a に近づき、これが接線の傾き f'(a) である

基本の微分公式

累乗の微分
(xn)' = nxn-1
数学Ⅱでは n が自然数の場合を扱う。実数の指数は数学Ⅲで扱う
定数倍・和・差の微分
(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'
定数倍は外に出し、和と差はそれぞれ微分する
積の微分法
(fg)' = f'g + fg'
前を微分して後ろはそのまま、足す、前はそのままで後ろを微分
商の微分法
(fg)' = f'g - fg'g²
（分子の微分 × 分母 − 分子 × 分母の微分）÷ 分母の2乗。数学Ⅲで扱う

導関数の意味

0
💡 f(x) と f'(x) の関係
①f'(x) > 0 なら f(x) は増加する区間にある
②f'(x) < 0 なら f(x) は減少する区間にある
③f'(x) = 0 となる点は極大や極小の候補で、図では x = ±1 がその位置である

まとめ

微分係数
f'(a) = limh→0 f(a+h) - f(a)h
点 a での接線の傾き
🎯 試験ポイント
①微分可能なら連続だが、逆は成り立たない（y = |x| は x = 0 で微分できない）
②(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ が多項式の微分の基本
③積の微分は f'g + fg'
④f'(a) = 0 となる点が極値かどうかは、符号が変わるかで見分ける
⑤接線の方程式は y − f(a) = f'(a)(x − a)

例題と過去問

例題 1
f(x) = x² のとき、微分係数の定義を用いて f'(2) を求めよ。
1
微分係数の定義に a = 2 を代入する。
f'(2) = limh→0 (2+h)2 - 22h
2
(2 + h)² − 4 = 4h + h² なので、h で約分してから h → 0 とする。
= limh→0 4h + h2h = limh→0 (4 + h) = 4
▸ f'(2) = 4
約分する前は分母が0になるので、h = 0 をそのまま代入できない。約分して 4 + h にしてから極限を求めるのが、定義から微分係数を求める方法である。
例題 2
f(x) = x³ − 2x² + 5 の導関数 f'(x) を求めよ。
1
各項に (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ をあてはめる。
(x3)' = 3x2, (2x2)' = 4x, (5)' = 0
2
項ごとに微分した結果を足す。定数5の微分は0である。
f'(x) = 3x2 - 4x
▸ f'(x) = 3x² − 4x
定数項はグラフを上下に動かすだけで傾きを変えないので、微分すると消える。
2023 韓国修能 数学 類題
f(x) = x² + 3x の x = 1 における微分係数 f'(1) の値は？
①5
②4
③2
④3
⑤8
▸ ① 5
1
導関数を求めると f'(x) = 2x + 3 である。
f'(x) = (x2)' + (3x)' = 2x + 3
2
x = 1 を代入する。
f'(1) = 2(1) + 3 = 5
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関数の連続
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導関数の活用

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