数学Ⅱ›微分

導関数の活用

Applications of Derivatives

増減の判別
📈 導関数の符号が示すもの
①f'(x) > 0 の区間 → f(x) は増加（上り坂）
②f'(x) < 0 の区間 → f(x) は減少（下り坂）
③f'(x) = 0 の点 → 極大・極小の候補
極値と増減表
0
極値判定法
f'(a) = 0 かつ f' の符号が + → − なら極大、− → + なら極小
増減表で導関数の符号変化を確認
💡 増減表の作り方
①f'(x) = 0 の解を求める（例：3x² − 3 = 0 → x = ±1）
②各区間で f'(x) の符号を判別
③符号が変わる点で極大/極小判定
④f'(x) = 0 でも符号変化がなければ極値ではない（例：x³ の x=0）
最大と最小
閉区間での最大・最小
[a, b] の候補：①f'(x)=0 の点 ②両端 f(a), f(b)
候補の中で最大が最大値、最小が最小値
2 階導関数判定法
f'(a)=0, f''(a)<0 → 極大 / f'(a)=0, f''(a)>0 → 極小
f'' の符号で極大/極小を判定
🔑 最大・最小戦略
①閉区間：極値 + 両端を比較
②開区間：極値のみで判断
③実生活の最適化：目的関数を立て微分して極値を探す
速度と加速度
1 s
位置-速度-加速度
v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)
位置 → 速度 → 加速度
💡 運動の解釈
①v(t) > 0：正方向に移動 / v(t) < 0：負方向
②v(t) = 0：方向転換点（頂点）
③a(t) = 定数 → 等加速度運動（自由落下など）
まとめ
極値条件
f'(a) = 0 + 符号変化 → 極大/極小
導関数の符号変化が核心
🎯 試験ポイント
①増減表：f'(x) = 0 の解を求め各区間の符号を確認
②判定：f' が + → − で極大、− → + で極小
③最大・最小：閉区間では極値 + 両端比較
④接線：y = f(a) + f'(a)(x − a)
⑤方程式/不等式に増減表を活用 — 概形把握から