導関数の活用

Applications of Derivatives

導関数は、関数のグラフが今この瞬間に上り坂なのか下り坂なのかを教えてくれる方位磁針のようなものです。傾きが正なら上昇中、負なら下降中で、符号が入れ替わるまさにその点が山（極大）や谷（極小）になります。この仕組みが分かれば、関数の最大値・最小値はもちろん、動く物体の速度や加速度まで微分ひとつで読み取れます。 x 位置スライダーを動かして、接線の傾き方と、緑（増加）・赤（減少）の区間がどう入れ替わるかを確かめてみましょう。

増減の判別

📈 導関数の符号が示すもの

①f'(x) > 0 の区間 → f(x) は増加（上り坂）

②f'(x) < 0 の区間 → f(x) は減少（下り坂）

③f'(x) = 0 の点 → 極大・極小の候補

極値と増減表

x 位置0

極値判定法

f'(a) = 0 かつ f' の符号が + → − なら極大、− → + なら極小

増減表で導関数の符号変化を確認

💡 増減表の作り方

①f'(x) = 0 の解を求める（例：3x² − 3 = 0 → x = ±1）

②各区間で f'(x) の符号を判別

③符号が変わる点で極大/極小判定

④f'(x) = 0 でも符号変化がなければ極値ではない（例：x³ の x=0）

最大と最小

閉区間での最大・最小

[a, b] の候補：①f'(x)=0 の点 ②両端 f(a), f(b)

候補の中で最大が最大値、最小が最小値

2 階導関数判定法

f'(a)=0, f''(a)<0 → 極大 / f'(a)=0, f''(a)>0 → 極小

f'' の符号で極大/極小を判定

🔑 最大・最小戦略

①閉区間：極値 + 両端を比較

②開区間：極値のみで判断

③実生活の最適化：目的関数を立て微分して極値を探す

速度と加速度

時刻 t1 s

位置-速度-加速度

v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)

位置 → 速度 → 加速度

💡 運動の解釈

①v(t) > 0：正方向に移動 / v(t) < 0：負方向

②v(t) = 0：方向転換点（頂点）

③a(t) = 定数 → 等加速度運動（自由落下など）

まとめ

極値条件

f'(a) = 0 + 符号変化 → 極大/極小

導関数の符号変化が核心

🎯 試験ポイント

①増減表：f'(x) = 0 の解を求め各区間の符号を確認

②判定：f' が + → − で極大、− → + で極小

③最大・最小：閉区間では極値 + 両端比較

④接線：y = f(a) + f'(a)(x − a)

⑤方程式/不等式に増減表を活用 — 概形把握から

例題と過去問

例題 1

f(x) = x³ − 3x の極大値と極小値を求めよ。

導関数を求めて f'(x) = 0 の解を探す。

f'(x) = 3x² - 3 = 0 ⟹ x = ±1

増減を調べると x = −1 で極大、x = 1 で極小。

極大値 f(-1) = 2, 極小値 f(1) = -2

▸ 極大値 2, 極小値 −2

f'(x) = 0 の点で符号が +→− なら極大、−→+ なら極小。

例題 2

原点を出発した点 P の位置が s(t) = t² − 4t のとき、t = 1 での速度 v(1) を求めよ。

速度は位置の微分。v(t) = s'(t)。

v(t) = s'(t) = 2t - 4

t = 1 を代入する。

v(1) = 2(1) - 4 = -2

▸ v(1) = −2

位置を1回微分すると速度で、符号は運動の向きを表す。

2022 評価院模試数学類題

曲線 y = x² + 1 上の点 (1, 2) での接線の傾きは？

①2

②1

③3

④4

⑤0

▸ ① 2

接線の傾きはその点での微分係数。y' = 2x。

y' = (x² + 1)' = 2x

x = 1 を代入する。

y'(1) = 2(1) = 2