高校2~高校3年生 (16-18歳)

数II 導関数の活用わかりやすく

Applications of Derivatives

導関数の符号を見ると、グラフがいま上り坂か下り坂かがわかります。傾きが正なら上っている途中、負なら下っている途中なので、符号が変わるところが山の頂上の極大や谷の底の極小になります。この考え方1つで、関数の最大値と最小値はもちろん、動く物体の速度や加速度まで微分で読みとれます。 1つ目の図で x の位置を動かすと接線の傾きと緑（増加）・赤（減少）の区間がかみ合い、2つ目の図では時刻 t ごとに位置・速度・加速度の値がいっしょに出ます。

増加と減少の見分け方

📈 導関数の符号からわかること

①f'(x) > 0 の区間で f(x) は増加する（上り坂）

②f'(x) < 0 の区間で f(x) は減少する（下り坂）

③f'(x) = 0 となる点は、極大や極小になりうる候補である

極値と増減表

x の位置0

極値の判定

f'(a) = 0 で、f' の符号が + → − なら極大、− → + なら極小

増減表をかいて、導関数の符号が変わるかを確かめる

💡 増減表のかき方

①f'(x) = 0 の解を求める（例：3x² − 3 = 0 から x = ±1）

②解で分けた区間ごとに f'(x) の符号を決める

③符号が変わる点で、極大か極小かを判定する

④f'(x) = 0 でも符号が変わらなければ極値ではない。たとえば y = x³ は x = 0 で極値をとらない

最大値と最小値

閉区間での最大値と最小値

[a, b] での候補：① f'(x) = 0 となる点 ② 両端 f(a), f(b)

候補の関数の値のうち、いちばん大きいものが最大値、いちばん小さいものが最小値である

第2次導関数による判定

f'(a)=0, f''(a)<0 → 極大 / f'(a)=0, f''(a)>0 → 極小

第2次導関数の符号で極大と極小を見分ける。変曲点は数学Ⅲの第2次導関数の単元で扱う

🔑 最大値・最小値の求め方

①閉区間が与えられたら、極値、両端、微分できない点での関数の値をすべて比べる

②開区間では最大値や最小値がないこともある

③身のまわりの最適化の問題は、求めたい量を関数で表してから微分し、極値を探す

速度と加速度

時刻 t1 s

位置・速度・加速度の関係

v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)

位置を1回微分すると速度、2回微分すると加速度になる

💡 物体の運動の読みとり方

①v(t) > 0 なら正の向き、v(t) < 0 なら負の向きに動く

②図では t = 2 で v = 0 となり、このとき位置 s がいちばん大きい

③v(t) = 0 でも符号が変わらなければ、向きはそのままである

④a(t) が一定なら等加速度運動である

まとめ

極値の条件

f'(a) = 0 で符号が変わる → 極大または極小

導関数の符号が変わるかどうかが要である

🎯 試験ポイント

①増減表：f'(x) = 0 の解を求め、区間ごとに符号を確かめる

②f' の符号が + から − に変われば極大、− から + に変われば極小

③閉区間での最大値・最小値は、極値と両端を比べて求める

④接線の方程式は y = f'(a)(x − a) + f(a)

⑤方程式や不等式の問題は、増減表からグラフの形を先にかく

例題と過去問

例題 1

f(x) = x³ − 3x の極大値と極小値を求めよ。

導関数を求めて、f'(x) = 0 の解を探す。

f'(x) = 3x² - 3 = 0 ⟹ x = ±1

x < −1 で f' > 0、−1 < x < 1 で f' < 0、x > 1 で f' > 0 なので、x = −1 で極大、x = 1 で極小である。

極大値 f(-1) = 2, 極小値 f(1) = -2

▸ 極大値 2、極小値 −2

1つ目の図の緑と赤の区間が、まさにこの増減表である。符号が + から − に変わるところが山、− から + に変わるところが谷になる。

例題 2

原点を出発した点 P の位置が s(t) = t² − 4t のとき、t = 1 での速度 v(1) を求めよ。

速度は位置を時間で微分したものである。

v(t) = s'(t) = 2t - 4

t = 1 を代入する。

v(1) = 2(1) - 4 = -2

▸ v(1) = −2

v(1) は負なので、t = 1 で点 P は負の向きに動いている。t = 2 で v = 0 となり、その後は向きが変わる。

2022 評価院模試数学類題

曲線 y = x² + 1 上の点 (1, 2) での接線の傾きは？

①2

②1

③3

④4

⑤0

▸ ① 2

接線の傾きはその点での微分係数で、y' = 2x である。

y' = (x² + 1)' = 2x

x = 1 を代入する。

y'(1) = 2(1) = 2

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微分係数と導関数

不定積分

最終更新 2026-10-17

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