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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数II 定積分 わかりやすく

Definite Integral

曲線の下の面積には、長方形や三角形のように一度で計算できる公式がありません。 そこで、その部分を細い長方形でうめて面積を見積もり、長方形をどんどん細く分けていきます。 長方形が細くなるほど見積もりは本当の面積に近づき、その極限が定積分です。原始関数 F がわかれば、この極限を F(b) − F(a) で計算できます。 1つ目の図で分割数 n を大きくすると長方形の面積の和が正確な値 b³/3 に近づき、2つ目の図では x 軸より下の部分が定積分から引かれることがわかります。

面積を細い長方形に分ける

📐 定積分の考え方
①曲線の下の面積は、細い長方形をたくさん並べて見積もる
②長方形をどんどん細くすると（n → ∞）、見積もりが本当の面積に近づく
③その極限値が定積分である

長方形の和から定積分へ

5 個
2
定積分の定義
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σk=1n f(xk) Δx
Δx = (b − a)/n の幅で分けた長方形の面積の和の極限が、曲線の下の面積である
🔑 図で見るところ
①n が小さいと長方形が太く、曲線とずれる部分が大きい
②n を20以上にすると、長方形が曲線の下をほぼそのままうめる
③n を限りなく大きくすると、長方形の面積の和は正確な値 b³/3 に近づく
④区間の真ん中の高さを使うと、はみ出す部分と足りない部分が打ち消し合い、誤差が速く小さくなる

微積分の基本定理

微積分の基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a) （ただし F'(x) = f(x)）
原始関数がわかれば、長方形の和を計算しなくても定積分がすぐ求められる
💡 基本定理の役割
①長方形の和の極限を直接計算するのはとても手間がかかる
②基本定理により、F'(x) = f(x) となる F を見つけて F(b) − F(a) を計算すればよい
③傾きを扱う微分と面積を扱う積分が、たがいに逆の関係にあるということである
④a から c までと c から b までの定積分を足すと、a から b までの定積分になる
⑤グラフが y 軸に関して対称なら −a から a までの定積分は0から a までの2倍で、原点に関して対称なら0である
計算例
∫02 x² dx = [x³3]02 = 83 - 0 = 83
F(x) = x³/3 を求めてから F(2) − F(0) を計算する。1つ目の図で b = 2 のときの正確な値と同じである

定積分と面積の符号

1.5
面積と定積分
面積 S = ∫ab |f(x)| dx （絶対値!）
定積分は符号のある値で、本当の面積は |f(x)| を積分して求める
⚠ 注意すること
①x 軸より下の部分は定積分に負で入るので、定積分の値が面積と異なることがある
②図で b = 2 にすると上と下の面積が等しく、定積分は0だが面積は0ではない
③本当の面積は、グラフが x 軸と交わる点で区間を分け、それぞれの絶対値を足して求める

まとめ

定積分の核心
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
微積分の基本定理
🎯 試験ポイント
①定積分は符号のある面積で、面積と異なることがある
②基本定理：原始関数の差 F(b) − F(a)
③区間を分けて足しても値は同じ
④グラフが y 軸に関して対称な関数では、−a から a までの定積分は0から a までの2倍
⑤グラフが原点に関して対称な関数では、−a から a までの定積分は0

例題と過去問

例題 1
∫02 3x² dx を求めよ。
1
微分すると 3x² になる関数として F(x) = x³ をとる。
∫ 3x2 dx = x3
2
基本定理にしたがって F(2) − F(0) を計算する。
[x3]02 = 23 - 03 = 8
▸ 8
原始関数につく定数 C は F(b) − F(a) で消えるので、定積分を計算するときは C を書かなくてよい。
例題 2
∫13 (2x − 1) dx を求めよ。
1
微分すると 2x − 1 になる関数として F(x) = x² − x をとる。
∫ (2x - 1) dx = x2 - x
2
F(3) − F(1) を計算する。
[x2 - x]13 = (9 - 3) - (1 - 1) = 6
▸ 6
y = 2x − 1 の下は、x = 1 で高さ1、x = 3 で高さ5の台形なので、(1 + 5) × 2 ÷ 2 = 6 でも確かめられる。
2022 評価院 模試 数学 類題
∫01 (3x² + 2) dx の値は？
①3
②1
③5
④2
⑤4
▸ ① 3
1
微分すると 3x² + 2 になる関数として F(x) = x³ + 2x をとる。
∫ (3x2 + 2) dx = x3 + 2x
2
F(1) − F(0) を計算する。
[x3 + 2x]01 = (1 + 2) - 0 = 3
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