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単語帳
高校2~高校3年生 (16-18歳)

定積分

Definite Integral

曲線の下の面積は、そのまま使える公式がないのに、どうやって求めればよいのでしょうか。 その領域を細い長方形で敷き詰めて面積をおおまかに見積もり、長方形をどんどん細く刻んでいくのが基本の発想です。 長方形が細くなるほど見積もりは本当の面積に近づき、その極限こそが定積分です。 分割数 n のスライダーを大きくして、リーマン和が定積分(正確な値)に収束し誤差が 0 に近づく様子を確かめてみましょう。

面積を長方形で細分する
📐 定積分の核心アイデア
①曲線下の面積 → 長方形で埋める
②細くすれば(n → ∞)→ 正確な面積に収束
③この極限が定積分
リーマン和から定積分へ
5
2
定積分の定義
ab f(x) dx = limn→∞ Σk=1n f(xk) Δx
区分求積法の極限 = 曲線下の面積
🔑 観察ポイント
①n = 2〜5:長方形が大きく誤差大
②n = 20〜50:長方形が曲線をほぼ埋める
③n → ∞:リーマン和 → 定積分(正確な面積)
微積分の基本定理
微積分の基本定理
ab f(x) dx = F(b) - F(a) (ただし F'(x) = f(x))
原始関数が分かれば定積分を直接計算可能
💡 基本定理の偉大さ
①リーマン和の極限を直接計算は煩雑
②基本定理:F(x) を見つけて F(b) − F(a) を計算するだけ
③微分(接線の傾き)と積分(面積)が逆関係
計算例
02 x² dx = [3]02 = 83 - 0 = 83
F(x) = x³/3 を求め F(2) − F(0)
定積分と面積の符号
1.5
面積と定積分の関係
面積 S = ∫ab |f(x)| dx (絶対値!)
定積分は符号付き、面積は |f(x)| の積分
注意点
①定積分値 ≠ 面積(x 軸下は負)
②実面積は |f(x)| の積分
③区間を分けて正/負を別計算
まとめ
定積分の核心
ab f(x) dx = F(b) - F(a)
微積分の基本定理
🎯 試験ポイント
①定積分 = 符号付き面積 — 面積とは別物
②基本定理:F(b) − F(a)
③区間分割:∫_a^c + ∫_c^b = ∫_a^b
④偶関数:∫_{-a}^{a} f(x) dx = 2∫_0^a f(x) dx
⑤奇関数:∫_{-a}^{a} f(x) dx = 0
例題と過去問
例題 1
02 3x² dx を求めよ。
1
原始関数 F(x) = x³ を求める。
∫ 3x2 dx = x3
2
基本定理で F(2) − F(0) を計算する。
[x3]02 = 23 - 03 = 8
8
定積分は原始関数を求めて F(b) − F(a) で計算する(微積分の基本定理)。
例題 2
13 (2x − 1) dx を求めよ。
1
原始関数 F(x) = x² − x を求める。
∫ (2x - 1) dx = x2 - x
2
F(3) − F(1) を計算する。
[x2 - x]13 = (9 - 3) - (1 - 1) = 6
6
上端の値から下端の値を引けば定積分の値になる。
2022 評価院 模試 数学 類題
01 (3x² + 2) dx の値は?
3
1
5
2
4
① 3
1
原始関数 F(x) = x³ + 2x を求める。
∫ (3x2 + 2) dx = x3 + 2x
2
F(1) − F(0) を計算する。
[x3 + 2x]01 = (1 + 2) - 0 = 3
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定積分の活用
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