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数学Ⅱ
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積分
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定積分
Definite Integral
面積を長方形で細分する
📐 定積分の核心アイデア
①曲線下の面積 → 長方形で埋める
②細くすれば（n → ∞）→ 正確な面積に収束
③この極限が定積分
リーマン和から定積分へ
分割数 n
5 個
上限 b
2
n を増やすとリーマン和が定積分に収束 — 誤差が小さくなる過程
定積分の定義
∫
a
b
f(x) dx = lim
n→∞
Σ
k=1
n
f(x
k
) Δx
区分求積法の極限 = 曲線下の面積
🔑 観察ポイント
①n = 2〜5：長方形が大きく誤差大
②n = 20〜50：長方形が曲線をほぼ埋める
③n → ∞：リーマン和 → 定積分（正確な面積）
微積分の基本定理
微積分の基本定理
∫
a
b
f(x) dx = F(b) - F(a) （ただし F'(x) = f(x)）
原始関数が分かれば定積分を直接計算可能
💡 基本定理の偉大さ
①リーマン和の極限を直接計算は煩雑
②基本定理：F(x) を見つけて F(b) − F(a) を計算するだけ
③微分（接線の傾き）と積分（面積）が逆関係
計算例
∫
0
2
x² dx = [
x³
3
]
0
2
=
8
3
- 0 =
8
3
F(x) = x³/3 を求め F(2) − F(0)
定積分と面積の符号
上限 b
1.5
x 軸上の面積は正、下は負 — 符号付き面積
面積と定積分の関係
面積 S = ∫
a
b
|f(x)| dx （絶対値!）
定積分は符号付き、面積は |f(x)| の積分
⚠ 注意点
①定積分値 ≠ 面積（x 軸下は負）
②実面積は |f(x)| の積分
③区間を分けて正/負を別計算
まとめ
定積分の核心
∫
a
b
f(x) dx = F(b) - F(a)
微積分の基本定理
🎯 試験ポイント
①定積分 = 符号付き面積 — 面積とは別物
②基本定理：F(b) − F(a)
③区間分割：∫_a^c + ∫_c^b = ∫_a^b
④偶関数：∫_{-a}^{a} f(x) dx = 2∫_0^a f(x) dx
⑤奇関数：∫_{-a}^{a} f(x) dx = 0
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