関数の連続

Continuity of Functions

関数が連続だというのは、ペンを紙から離さずに一気に描けるという意味です。途中で突然切れたり、階段のように跳んだり、ぽつんと穴が空いたりしていない滑らかな曲線なのです。厳密には、その点で極限値と関数値がぴったり一致するときにはじめて連続と呼びます。連続・ジャンプ・除去可能のボタンを押し比べて、滑らかだったグラフがどこでどう崩れるのかを見てみましょう。

連続の直観

✏ 連続とは?

①「ペンを離さずに描けるグラフ」

②途切れず、跳ばず、穴のない滑らかな曲線

③数学的には3条件を同時に満たす必要

連続と不連続の比較

連続の3条件

x = a で連続 ⟺ ①f(a) 存在 ②lim_x→a f(x) 存在 ③lim_x→a f(x) = f(a)

3条件のいずれかが不成立 → 不連続

🔍 不連続の種類

①ジャンプ：左極限 ≠ 右極限（階段関数）

②除去可能：極限は存在するが f(a) ≠ 極限（穴）

③無限：極限自体が ±∞（垂直漸近線）

連続関数の性質

連続関数の四則

f, g が連続なら f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0) も連続

連続関数同士は加減乗除しても連続

合成関数の連続

f が a で連続、g が f(a) で連続 → g ∘ f が a で連続

連続関数の合成は連続

中間値の定理

目標値 k0.5

中間値の定理

f(a) < k < f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b), f(c) = k

連続関数は中間値を必ず取る — 解の存在証明に活用

💡 中間値の定理の活用

①「f(a) < 0 かつ f(b) > 0 なら、(a, b) に f(c) = 0 の解 c が存在」

②方程式の実数解の存在証明に必須

③f が [a, b] で連続であることが必要

まとめ

連続の定義

lim_x→a f(x) = f(a)

極限値と関数値が等しいなら連続

🎯 試験ポイント

①連続3条件：f(a) 存在 + 極限存在 + 両者一致

②多項式、三角関数、指数/対数関数は定義域内で連続

③不連続判定：左右極限の比較が核心

④中間値定理：連続関数の解の存在証明 →「符号が変われば解あり」

⑤未定係数問題：連続条件（左極限=右極限=f(a)）で定数決定

例題と過去問

例題 1

f(x) = (x² − 1)/(x − 1) (x ≠ 1), f(1) = k が x = 1 で連続になる定数 k を求めよ。

x=1 で連続なら lim_x→1 f(x) = f(1) = k。

x² - 1x - 1 = x + 1 (x ≠ 1)

極限値を求め k と等しくおく。

lim_x→1 (x + 1) = 2 = k

▸ k = 2

除去可能な不連続は、関数値を極限値と等しく定義すれば連続になる。

例題 2

f(x) = x² − 3 について、方程式 f(x) = 0 が区間 (1, 2) に少なくとも1つの実根をもつことを説明せよ。

f は多項式なので [1, 2] で連続。両端の符号を見る。

f(1) = -2 < 0, f(2) = 1 > 0

符号が異なるので中間値の定理より f(c) = 0 となる c が (1, 2) に存在する。

f(1) < 0 < f(2) ⟹ f(c) = 0, c ∈ (1, 2)

▸ 区間 (1, 2) に実根が存在する。

連続関数が両端で符号を変えれば、その間に根が存在する(中間値の定理)。

2022 評価院模試数学類題

f(x) = { 2x + a (x ≤ 1), x² + 2 (x > 1) } が x = 1 で連続のとき、定数 a の値は？

①1

②3

③2

④-1

⑤0

▸ ① 1

x=1 で連続なら左極限 = 右極限 = f(1)。

左極限 = 2(1) + a = 2 + a, 右極限 = 1² + 2 = 3

2つを等しくおく。

2 + a = 3 ⟹ a = 1