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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数II 関数の連続 わかりやすく

Continuity of Functions

関数が連続であるとは、グラフをペンを紙から離さずにひと続きにかけるということです。 途中で切れたり、階段のようにとんだり、穴があいたりしているところがあってはいけません。 正確には、x = a で関数の値 f(a) と極限値がどちらも存在し、その2つが等しいとき、x = a で連続であるといいます。 2つ目の図の3つのボタンで連続、とびのある不連続、除去できる不連続を比べ、4つ目の図で高さ k を変えると、中間値の定理が保証する点 c が見つかります。

連続の直観

✏ 連続とは
①ペンを紙から離さずにかけるグラフである
②切れ目もとびも穴もない
③この感覚を式にしたものが、下の3つの条件である

連続と不連続を比べる

連続であるための3つの条件
x = a で連続 ⟺ ①f(a) 存在 ②limx→a f(x) 存在 ③limx→a f(x) = f(a)
3つの条件のうち1つでも成り立たなければ不連続である
🔍 不連続の種類
①とびのある不連続：左側極限と右側極限が異なり、グラフがとぶ
②除去できる不連続：極限値はあるが、f(a) がないか極限値と異なり、穴があく
③無限大の不連続：極限が正または負の無限大に発散し、縦の漸近線ができる（図にはない）
④除去できる不連続は、f(a) を極限値に定め直せば連続になる

連続関数の性質

連続関数の四則
f, g が連続なら f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0) も連続
連続な関数どうしの和・差・積も連続で、商は分母が0でないところで連続である
合成関数の連続
f が a で連続、g が f(a) で連続 → g ∘ f が a で連続
連続な関数を合成した関数も連続である

中間値の定理

0.5
中間値の定理
f(a) < k < f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b), f(c) = k
f が [a, b] で連続なときに成り立つ。f(a) > f(b) でも、k が2つの値の間にあれば同じである
💡 中間値の定理の使い方
①f(a) < 0 < f(b) なら、f(c) = 0 となる c が (a, b) に少なくとも1つある
②だから、方程式の実数解がある区間を示すときに使う
③f が [a, b] で連続でなければ使えない
④定理は c があることだけを述べ、いくつあるかは述べない。図で k が −1 と3の間にあると、c は3つ示される

まとめ

連続の定義
limx→a f(x) = f(a)
極限値と関数の値が等しければ連続である
🎯 試験ポイント
①連続の3条件：f(a) がある、極限値がある、2つが等しい
②多項式の関数はすべての実数で、分数関数は分母が0でないところで連続である
③不連続かどうかは、まず左側極限と右側極限を比べる
④中間値の定理：連続な関数の符号が変われば、その間に解がある
⑤未定の定数は、左側極限 = 右側極限 = f(a) から決める

例題と過去問

例題 1
f(x) = (x² − 1)/(x − 1) (x ≠ 1), f(1) = k が x = 1 で連続になる定数 k を求めよ。
1
x = 1 で連続であるためには、極限値と f(1) = k が等しくなければならない。
x2 - 1x - 1 = x + 1 (x ≠ 1)
2
x ≠ 1 では約分すると x + 1 なので、極限値は2である。
limx→1 (x + 1) = 2 = k
▸ k = 2
もとの関数は、x = 1 に穴のあいた直線 y = x + 1 である。その穴を k = 2 でふさぐと連続になる。
例題 2
f(x) = x² − 3 について、方程式 f(x) = 0 が区間 (1, 2) に少なくとも1つの実根をもつことを説明せよ。
1
f は多項式で表された関数なので [1, 2] で連続であり、両端の関数の値の符号を見る。
f(1) = -2 < 0, f(2) = 1 > 0
2
符号が異なるので、中間値の定理により f(c) = 0 となる c が (1, 2) にある。
f(1) < 0 < f(2) ⟹ f(c) = 0, c ∈ (1, 2)
▸ 区間 (1, 2) に実根が存在する。
実際の解は √3 ≈ 1.73 である。中間値の定理だけでは解の値はわからないが、解がある区間はわかる。
2022 評価院 模試 数学 類題
f(x) = { 2x + a (x ≤ 1), x² + 2 (x > 1) } が x = 1 で連続のとき、定数 a の値は？
①1
②3
③2
④-1
⑤0
▸ ① 1
1
x = 1 で連続であるためには、左側極限、右側極限、f(1) がすべて等しくなければならない。
左極限 = 2(1) + a = 2 + a, 右極限 = 12 + 2 = 3
2
左側極限 2 + a と右側極限3を等しいとおく。
2 + a = 3 ⟹ a = 1
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