数学Ⅱ›関数の極限と連続

関数の連続

Continuity of Functions

連続の直観

✏ 連続とは?

①「ペンを離さずに描けるグラフ」

②途切れず、跳ばず、穴のない滑らかな曲線

③数学的には3条件を同時に満たす必要

連続と不連続の比較

連続の3条件

x = a で連続 ⟺ ①f(a) 存在 ②lim_x→a f(x) 存在 ③lim_x→a f(x) = f(a)

3条件のいずれかが不成立 → 不連続

🔍 不連続の種類

①ジャンプ：左極限 ≠ 右極限（階段関数）

②除去可能：極限は存在するが f(a) ≠ 極限（穴）

③無限：極限自体が ±∞（垂直漸近線）

連続関数の性質

連続関数の四則

f, g が連続なら f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0) も連続

連続関数同士は加減乗除しても連続

合成関数の連続

f が a で連続、g が f(a) で連続 → g ∘ f が a で連続

連続関数の合成は連続

中間値の定理

目標値 k0.5

中間値の定理

f(a) < k < f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b), f(c) = k

連続関数は中間値を必ず取る — 解の存在証明に活用

💡 中間値の定理の活用

①「f(a) < 0 かつ f(b) > 0 なら、(a, b) に f(c) = 0 の解 c が存在」

②方程式の実数解の存在証明に必須

③f が [a, b] で連続であることが必要

まとめ

連続の定義

lim_x→a f(x) = f(a)

極限値と関数値が等しいなら連続

🎯 試験ポイント

①連続3条件：f(a) 存在 + 極限存在 + 両者一致

②多項式、三角関数、指数/対数関数は定義域内で連続

③不連続判定：左右極限の比較が核心

④中間値定理：連続関数の解の存在証明 →「符号が変われば解あり」

⑤未定係数問題：連続条件（左極限=右極限=f(a)）で定数決定