漸化式

Recurrence Relations

漸化式は、最初の項一つと、前の項から次の項を作る規則だけで数列全体を決める方法です。出発点と規則さえあれば、その規則を繰り返して第2項、第3項、第4項と限りなく作っていけます。一定の値を足せば等差数列、一定の比を掛ければ等比数列になり、足す量が少しずつ変わるときはその変化をシグマでまとめて一般項を求めます。このページではスライダーで項を一つずつ増やし、漸化式が数列を実際に描いていく様子を目で追います。

前の項から次の項を作る

作った項の数 n5

👀 目で見る

①漸化式は初項と「次の項 = 前の項から作る規則」で数列を定義する

②a₁ から規則を繰り返し適用するとすべての項が決まる

③これを数列の帰納的定義という

等差型と等比型

等差型の漸化式

a_n+1 = a_n + d ⇒ 等差数列, a_n = a₁ + (n−1)d

一定の値 d を足せば等差数列

等比型の漸化式

a_n+1 = r·a_n ⇒ 等比数列, a_n = a₁·r^n-1

一定の比 r を掛ければ等比数列

階差型 — 足す量が変わるとき

階差型の漸化式

a_n+1 = a_n + f(n) ⇒ a_n = a₁ + ∑_k=1^n-1 f(k)

足す量が n で変わるなら、その和(シグマ)で一般項を求める

直接求めてみる

例題 1

a₁=3, a_n+1=a_n+2 のとき a₅ を求めよ。

一定の値 2 を足すので公差 2 の等差数列。

a_n = 3 + (n−1)·2

n=5 を代入する。

a₅ = 3 + 4·2 = 11

▸ 11

「前の項 + 定数」の形なら、等差数列の一般項をそのまま書けばよい。

例題 2

a₁=1, a_n+1=2a_n+1 のとき a₄ を求めよ。

規則を順に適用する。

a₂=3, a₃=7, a₄=15

項を直接計算して a₄ を得る。

a₄ = 2·7 + 1 = 15

▸ 15

等差·等比でない規則は、小さい項から直接作るのが速い。

まとめ

中心となる結果

a_n+1=a_n+d (等差), a_n+1=r a_n (等比), a_n+1=a_n+f(n) (階差)

漸化式の形を見て等差·等比·階差のどれかをまず判別

2020 修能数学類題

a₁=2, a_n+1=a_n+3 で定義される数列の a₁₀ は?

①26

②29

③32

④35

⑤38

▸ ② 29

公差 3 の等差数列である。

a_n = 2 + (n−1)·3

n=10 を代入する。

a₁₀ = 2 + 9·3 = 29

🎯 試験ポイント

①漸化式の形から判別:+d は等差、×r は等比

②階差型 a_{n+1}=a_n+f(n) はシグマで

③解けなければ a_1 から数項作って規則を推測

④初項と規則の二つが数列を完全に決める

⑤一般項を求めた後、項番号を正確に代入

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数学的帰納法

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