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gongsik
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高校数学
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数学Ⅰ
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数列
高校2年生 (16-17歳)
漸化式
Recurrence Relations
前の項から次の項を作る
a₁=1, aₙ₊₁=aₙ+2 の漸化式が項を順に作っていく様子
作った項の数 n
5
👀 目で見る
①漸化式は初項と「次の項 = 前の項から作る規則」で数列を定義する
②a₁ から規則を繰り返し適用するとすべての項が決まる
③これを数列の帰納的定義という
等差型と等比型
等差型の漸化式
a
n+1
= a
n
+ d ⇒ 等差数列, a
n
= a
1
+ (n−1)d
一定の値 d を足せば等差数列
等比型の漸化式
a
n+1
= r·a
n
⇒ 等比数列, a
n
= a
1
·r
n-1
一定の比 r を掛ければ等比数列
階差型 — 足す量が変わるとき
階差型の漸化式
a
n+1
= a
n
+ f(n) ⇒ a
n
= a
1
+ ∑
k=1
n-1
f(k)
足す量が n で変わるなら、その和(シグマ)で一般項を求める
直接求めてみる
例題 1
a
1
=3, a
n+1
=a
n
+2 のとき a
5
を求めよ。
1
一定の値 2 を足すので公差 2 の等差数列。
a
n
= 3 + (n−1)·2
2
n=5 を代入する。
a
5
= 3 + 4·2 = 11
▸
11
「前の項 + 定数」の形なら、等差数列の一般項をそのまま書けばよい。
例題 2
a
1
=1, a
n+1
=2a
n
+1 のとき a
4
を求めよ。
1
規則を順に適用する。
a
2
=3, a
3
=7, a
4
=15
2
項を直接計算して a
4
を得る。
a
4
= 2·7 + 1 = 15
▸
15
等差·等比でない規則は、小さい項から直接作るのが速い。
まとめ
中心となる結果
a
n+1
=a
n
+d (等差), a
n+1
=r a
n
(等比), a
n+1
=a
n
+f(n) (階差)
漸化式の形を見て等差·等比·階差のどれかをまず判別
2020 修能 数学 類題
a
1
=2, a
n+1
=a
n
+3 で定義される数列の a
10
は?
①
26
②
29
③
32
④
35
⑤
38
▸
② 29
1
公差 3 の等差数列である。
a
n
= 2 + (n−1)·3
2
n=10 を代入する。
a
10
= 2 + 9·3 = 29
🎯 試験ポイント
①漸化式の形から判別:+d は等差、×r は等比
②階差型 a_{n+1}=a_n+f(n) はシグマで
③解けなければ a_1 から数項作って規則を推測
④初項と規則の二つが数列を完全に決める
⑤一般項を求めた後、項番号を正確に代入
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