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高校2年生 (16-17歳)

数I 漸化式 わかりやすく

Recurrence Relations

漸化式は、初項1つと、前の項から次の項をつくる規則1つで、数列全体を決める方法です。 はじまりの数と規則さえあれば、規則をくり返して第2項、第3項、第4項と限りなくつくっていけます。 いつも同じ数を足せば等差数列、いつも同じ数をかければ等比数列になり、足す量が n によって変わるときは、その量をシグマでまとめて一般項を求めます。 図でつくった項の数を増やすと、a₁ = 1 から始まって2ずつ足していく点が1つずつつながります。

前の項から次の項をつくる

5
👀 漸化式が数列を決めるしくみ
①漸化式は、初項と「前の項から次の項をつくる規則」で数列を決める
②a₁ から始めて規則をくり返すと、すべての項が1つずつ決まる
③このように数列を決めることを、数列の帰納的定義という
④図の点は1つ進むごとに2ずつ上がるので、1本の直線上に並ぶ

等差型と等比型

等差型の漸化式
an+1 = an + d ⇒ 等差数列, an = a1 + (n−1)d
いつも同じ値 d を足せば、公差 d の等差数列である
等比型の漸化式
an+1 = r·an ⇒ 等比数列, an = a1·rn-1
いつも同じ数 r をかければ、公比 r の等比数列である

階差型：足す量が変わるとき

階差型の漸化式
an+1 = an + f(n) ⇒ an = a1 + ∑k=1n-1 f(k)
足す量 f(n) が n によって変わるときは、初項に f(1) から f(n − 1) までの和を足して一般項を求める

例題で確かめる

例題 1
a1=3, an+1=an+2 のとき a5 を求めよ。
1
前の項にいつも2を足すので、初項3、公差2の等差数列である。
an = 3 + (n−1)·2
2
一般項に n = 5 を代入する。
a5 = 3 + 4·2 = 11
▸ 11
「前の項 + 定数」の形なら、項を1つずつつくらなくても等差数列の一般項がすぐ使える。3, 5, 7, 9, 11 と順に書いても同じになる。
例題 2
a1=1, an+1=2an+1 のとき a4 を求めよ。
1
規則を a₁ = 1 から順にあてはめる。
a2=3, a3=7, a4=15
2
a₄ は a₃ = 7 を2倍して1を足した値である。
a4 = 2·7 + 1 = 15
▸ 15
2aₙ + 1 の形は等差でも等比でもないので、小さい項から直接つくるほうが速い。1, 3, 7, 15 はそれぞれ 2¹ − 1, 2² − 1, 2³ − 1, 2⁴ − 1 なので、aₙ = 2ⁿ − 1 と見当がつく。

まとめ

中心となる結果
an+1=an+d (等差), an+1=r an (等比), an+1=an+f(n) (階差)
漸化式の形を見て、等差型・等比型・階差型のどれかをまず見分ける
2020 韓国修能 数学 類題
a1=2, an+1=an+3 で定義される数列の a10 は?
①26
②29
③32
④35
⑤38
▸ ② 29
1
前の項にいつも3を足すので、初項2、公差3の等差数列である。
an = 2 + (n−1)·3
2
一般項に n = 10 を代入すると、2に3を9回足した値になる。
a10 = 2 + 9·3 = 29
🎯 試験ポイント
①まず漸化式の形を見分ける：いつも d を足せば等差、いつも r をかければ等比
②階差型 aₙ₊₁ = aₙ + f(n) はシグマで解く
③見慣れない形なら、a₁ から何項か直接つくって規則の見当をつける
④初項と規則の2つが数列を完全に決める
⑤一般項を求めたら、項の番号を正確に代入する
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最終更新

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