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高校2年生 (16-17歳)

数I 数学的帰納法 わかりやすく

Mathematical Induction

数学的帰納法は、自然数 n ごとに1つずつある無限に多くの命題を、ドミノ倒しのようにまとめて証明する方法です。 まず最初のドミノが倒れること、つまり n = 1 のとき命題が正しいことを示し、次に、どのドミノが倒れてもすぐ次のドミノも倒れること、つまり n = k のとき正しければ n = k + 1 のときも正しいことを示します。 この2つがそろえば 1, 2, 3, … と限りなく続いて、すべての自然数で命題が正しくなります。 1つ目の図で倒れたドミノの数を増やすと、次のドミノにもたれたドミノがふえていき、2つ目の図には証明の3つの段階が順に並んでいます。

ドミノで見る帰納法

3
💡 ドミノがすべて倒れる2つの条件
①最初のドミノを押す：n = 1 のとき正しいことを確かめる
②どれが倒れても、すぐ次も倒れる：n = k で正しければ n = k + 1 でも正しい
③どちらか一方でも欠ければ、列全体が倒れるとはいえない
④n = 2 のように1でない数から始まる問題もあり、そのときはその数から確かめる

証明の組み立て：3つの段階

📐 各段階ですること
①第1段階（基礎）：n = 1 を代入して成り立つことを示す
②第2段階（仮定）：n = k のとき成り立つと仮定する
③第3段階（証明）：その仮定を使って n = k + 1 のときも成り立つことを示す
④3つの段階を終えれば、すべての自然数 n について証明が終わる

例題：1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 の証明

第1段階：n = 1
左辺 = 1, 右辺 = 1×22 = 1
n = 1 のとき両辺が等しいことを直接確かめる
第2段階：n = k を仮定
1+2+...+k = k(k+1)2 （仮定）
n = k のとき成り立つと仮定する
第3段階：n = k + 1 を証明
1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2
仮定した式の両辺に k + 1 を足して整理すると、n = k + 1 のときの式になる
✅ 証明おわり
①n = 1 のとき成り立つ
②n = k のとき成り立てば、n = k + 1 のときも成り立つ
③よって、すべての自然数 n について 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 である

帰納法を使うとき

⚠️ よくあるミス
①第1段階をぬかすと、2つ目の条件だけでは何も証明されない
②第2段階で仮定するのは n = k のときの式であり、証明すべき n = k + 1 のときの式を仮定してはいけない
③第3段階で仮定を一度も使っていなければ、帰納法で証明したことにならない
📐 帰納法が使われる場面
①自然数 n についての等式や不等式
②数列の和の公式
③割り切れることについての命題（例：3ⁿ − 1 は2の倍数）
④図形の性質（例：n 角形の内角の和は (n − 2) × 180°）

まとめ

数学的帰納法
P(1) ∧ [P(k) → P(k+1)] ⟹ ∀n∈ℕ, P(n)
基礎の段階と帰納の段階がともに成り立てば、すべての自然数で成り立つ
🎯 試験ポイント
①3つの段階：基礎（n = 1）→ 仮定（n = k）→ 証明（n = k + 1）
②基礎の段階は省かない
③帰納の段階では仮定を必ず使う
④不等式なら、n = k + 1 のときの左辺を仮定が使える形に変える
⑤n = 2 のように1でない数から始まる問題もある

例題と過去問

例題 1
すべての自然数 n について 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 を数学的帰納法で証明するとき、最初に確認すべき段階は？
1
数学的帰納法は、（i） n = 1 のとき成り立つこと、（ii） n = k のとき成り立てば n = k + 1 のときも成り立つこと、の2つからなる。
(i) n = 1 を確認, (ii) P(k) ⟹ P(k+1)
2
まず n = 1 を代入して、左辺と右辺が等しいかを確かめる。
n=1: 左辺 = 1, 右辺 = 1×22 = 1
▸ まず n = 1 のとき成り立つことを確かめる（基礎の段階）。
出発点を確かめなければ、「次も倒れる」というつながりがどれほど確かでも、最初のドミノが倒れない。
例題 2
帰納法で n=k のとき成立を仮定したあと、その仮定を使って何を示すべきか？
1
n = k のとき成り立つと仮定する（帰納法の仮定）。
仮定: P(k) 成立
2
この仮定を足がかりにして、n = k + 1 のときも成り立つことを示す。
示すこと: P(k+1) 成立
▸ n = k + 1 のときも成り立つことを示す。
n = k + 1 のときの式の中に n = k のときの式を見つけ、仮定で置きかえることが帰納の段階の要である。
2023 韓国修能 数学 類題
ドミノがすべて倒れる状況に対応する数学的帰納法の2段階として正しいものは？
①n=1 成立、かつ P(k) ⟹ P(k+1)
②n=1 成立のみ
③P(k) ⟹ P(k+1) のみ
④すべての n を直接代入
⑤n=2 成立、かつ P(k) ⟹ P(k−1)
▸ ① n=1 成立、かつ P(k) ⟹ P(k+1)
1
最初のドミノが倒れることは、基礎の段階、つまり n = 1 で成り立つことに対応する。
(i) n = 1 で成立
2
k 番目が倒れれば (k + 1) 番目も倒れることは、帰納の段階 P(k) ⟹ P(k + 1) に対応する。
(ii) P(k) ⟹ P(k+1)
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