数学Ⅰ›数列

数学的帰納法

Mathematical Induction

ドミノ効果 — 帰納法の直観
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💡 ドミノと帰納法の比喩
①最初のドミノを倒す（n=1 確認）
②1つ倒れると次も倒れる（k → k+1）
③この2条件で全部倒れる
④これが数学的帰納法の核心
証明の構造 — 3段階
📐 各段階の役割
①基底：n=1 で P(1) を直接確認
②仮定：n=k で P(k) を仮定
③帰納：仮定を使い P(k+1) を示す
④3段階すべてで全自然数について証明
例：1+2+...+n = n(n+1)/2 の証明
1段階：n=1
左辺 = 1, 右辺 = 1×22 = 1 ✓
n=1 で両辺が等しいか直接確認
2段階：n=k を仮定
1+2+...+k = k(k+1)2 （仮定）
n=k で成立すると仮定
3段階：n=k+1 を証明
1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2
仮定を用いて k+1 でも成立を示す
✅ 証明完了!
①n=1 で確認 ✓
②n=k 仮定 → n=k+1 証明 ✓
③よってすべての自然数 n で 1+2+...+n = n(n+1)/2
帰納法の活用
⚠️ よくあるミス
①基底（n=1）を抜くと証明にならない
②仮定では「証明したいこと」を仮定として書く
③k+1 の段階で必ず仮定を用いる
④仮定を使わないと帰納法ではない
📐 帰納法が必要な場面
①自然数 n に関する等式・不等式の証明
②数列の和の公式証明
③整除性（3^n − 1 は 2 の倍数）
④幾何性質（n 角形の内角の和）
まとめ
数学的帰納法
P(1) ∧ [P(k) → P(k+1)] ⟹ ∀n∈ℕ, P(n)
基底＋帰納段階 → すべての自然数で成立
🎯 試験ポイント
①3段階：基底（n=1）→ 仮定（n=k）→ 証明（n=k+1）
②基底は絶対省略しない
③帰納段階で必ず仮定を活用
④不等式の帰納法：k+1 で左辺を変形し仮定を代入
⑤n=1 ではなく n=2 から始まる場合もある