対数関数

Logarithmic Function

対数関数 y = log_a x は、指数関数 y = a^x を鏡に映した相棒です。指数関数が「何回かければいくつになるか」を教えるなら、対数関数は逆に「いくつにするには何回かけるか」を教えるので、二つのグラフは直線 y = x を挟んでぴたりと重なります。そのため必ず点 (1, 0) を通り、x が 0 に近づくと下へ限りなく落ち、y 軸を漸近線とします。このページでは底を変えて曲線の形がどう変わるかを見て、指数関数と対数関数が y = x について対称になる様子を並べて確かめましょう。

対数関数の形 — 底による変化

底 a2

💡 対数関数はすべて (1, 0) を通る

①log_a(1) = 0 → 底が何でも x=1 で y=0

②底が大きいほど曲線は下に押される

③x → 0⁺ で y → -∞（y 軸が漸近線）

指数関数との対称

🔗 逆関数関係

①y = log_a(x) は y = a^x の逆関数

②グラフは y = x 直線について対称

③定義域と値域が入れ替わる

④(0, 1) ↔ (1, 0)

対数関数の性質

対数関数の定義

y = log_a x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

定義域：x > 0、値域：すべての実数

対数関数の性質

log_a 1 = 0, log_a a = 1

(1, 0) と (a, 1) を通る

📐 増減と漸近線

①a > 1：増加関数

②0 < a < 1：減少関数

③漸近線：y 軸（x = 0）

④x ≤ 0 では定義されない

対数方程式と不等式

対数方程式

log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x)

底が同じなら真数を比較（真数 > 0 を確認）

⚠️ 対数不等式の核心

①a > 1：log_a M > log_a N ⟺ M > N（不等号維持）

②0 < a < 1：log_a M > log_a N ⟺ M < N（不等号反転!）

③真数 > 0 を必ず確認

まとめ

対数関数の核心

y = log_a x：定義域 (0, ∞)、値域 ℝ、漸近線 x = 0

指数関数の逆関数、y = x について対称

🎯 試験ポイント

①(1, 0) を通る：log_a 1 = 0

②a > 1 で増加、0 < a < 1 で減少

③逆関数：y = a^x ↔ y = log_a x

④対数方程式：底を揃えて真数比較

⑤真数 > 0 を必ず検証

例題と過去問

例題 1

対数方程式 log₂ (x − 1) = 3 を解け。

対数の定義で指数の形に直す。(真数 = 底^値)

x - 1 = 2³ = 8

x を求め、真数条件 x − 1 > 0 を確認する。

x = 9 (x - 1 = 8 > 0)

▸ x = 9

対数方程式は定義で指数の形に直し、真数が正であることを必ず確認する。

例題 2

関数 y = log₂ x と y = 2^x のグラフはどの直線に関して対称か。

y = log₂ x は y = 2^x の逆関数である。

y = 2^x ⟺ x = log₂ y

逆関数どうしのグラフは直線 y = x に関して対称。

対称軸: y = x

▸ 直線 y = x に関して対称

指数関数と対数関数は互いに逆関数なので y = x に関して対称。

2023 修能数学類題

対数不等式 log₃ (x − 2) < 2 の解は？ (真数条件を含む)

①2 < x < 11

②x < 11

③x > 2

④0 < x < 11

⑤2 < x < 9

▸ ① 2 < x < 11

底 3 > 1 なので増加関数(不等号は維持)、真数条件も合わせて見る。

log₃ (x-2) < 2 ⟺ 0 < x - 2 < 3²

不等式を解いて範囲を定める。

2 < x < 11