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高校2年生 (16-17歳)

数I 対数関数 わかりやすく

Logarithmic Function

対数関数 y = logₐ x は、指数関数 y = aˣ の逆関数です。 指数関数が「a を x 回かけるといくつか」に答えるのに対して、対数関数は「x にするには a を何回かければよいか」に答えるので、2つのグラフは直線 y = x をはさんで向かい合います。 そのため対数関数のグラフはいつも点 (1, 0) と (a, 1) を通り、x が0に近づくほど限りなく下がって、y 軸を漸近線にもちます。 1つ目の図で底を変えると点 (a, 1) が動いて曲線のねかたが変わり、2つ目の図には y = x をはさんで向かい合う2組の点がかかれています。

底によって変わる形

2
💡 対数関数はどれも (1, 0) を通る
①logₐ 1 = 0 なので、底が何であってもグラフは点 (1, 0) を通る
②logₐ a = 1 なので点 (a, 1) も通り、底が大きいほどこの点が右へ行って曲線がねていく
③x が0に近づくほど y は限りなく小さくなるので、y 軸が漸近線である
④この図の底は1.5以上なので、増加する場合だけをかいている

指数関数との対称

🔗 逆関数の関係
①y = aˣ の逆関数が y = logₐ x である
②点 (p, q) が一方のグラフ上にあれば、点 (q, p) はもう一方のグラフ上にある
③だから2つのグラフは直線 y = x に関して対称である
④定義域と値域も入れかわり、対数関数の定義域は正の数全体、値域は実数全体である

対数関数の性質

対数関数の定義
y = loga x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
定義域は x > 0、値域は実数全体である
いつも通る2点
loga 1 = 0, loga a = 1
グラフは (1, 0) と (a, 1) を通る
📐 増加・減少と漸近線
①a > 1 なら、x が大きくなるほど y も大きくなる増加関数である
②0 < a < 1 なら、x が大きくなるほど y が小さくなる減少関数である
③漸近線は y 軸（x = 0）である
④x ≤ 0 では定義されない

対数方程式と対数不等式

対数方程式
loga f(x) = loga g(x) ⟹ f(x) = g(x)
底が同じなら真数どうしを比べる。真数が正であることも確かめる
⚠️ 対数不等式で見る2つのこと
①a > 1 なら logₐ M > logₐ N ⟺ M > N で、不等号の向きはそのまま
②0 < a < 1 なら logₐ M > logₐ N ⟺ M < N で、不等号の向きが変わる
③解の最後に、真数条件 M > 0, N > 0 をあわせて考える

まとめ

対数関数の核心
y = loga x：定義域 (0, ∞)、値域 ℝ、漸近線 x = 0
指数関数の逆関数で、グラフは y = x に関して指数関数と対称である
🎯 試験ポイント
①グラフはいつも (1, 0) を通る（logₐ 1 = 0）
②a > 1 なら増加、0 < a < 1 なら減少
③y = aˣ と y = logₐ x はたがいに逆関数
④対数方程式は底をそろえてから真数を比べる
⑤答えを出す前に真数 > 0 の条件を確かめる

例題と過去問

例題 1
対数方程式 log2 (x − 1) = 3 を解け。
1
対数の定義から、真数 x − 1 は2の3乗である。
x - 1 = 23 = 8
2
x = 9 で、このとき真数 x − 1 = 8 は正なので答えになる。
x = 9 (x - 1 = 8 > 0)
▸ x = 9
対数方程式は、定義を使って指数の形に直すとふつうの方程式になる。ただし、得た値を真数に入れて正になるかを必ず確かめる。
例題 2
関数 y = log2 x と y = 2x のグラフはどの直線に関して対称か。
1
y = 2ˣ を x について解くと x = log₂ y なので、2つの関数はたがいに逆関数である。
y = 2x ⟺ x = log2 y
2
逆関数どうしのグラフは x と y を入れかえた点どうしが組になるので、直線 y = x に関して対称である。
対称軸: y = x
▸ 直線 y = x に関して対称
(1, 2) が y = 2ˣ 上にあれば、(2, 1) は y = log₂ x 上にある。x と y を入れかえることが、そのまま直線 y = x で折り返すことである。
2023 韓国修能 数学 類題
対数不等式 log3 (x − 2) < 2 の解は？（真数条件を含む）
①2 < x < 11
②x < 11
③x > 2
④0 < x < 11
⑤2 < x < 9
▸ ① 2 < x < 11
1
底3は1より大きいので不等号の向きはそのままで、真数条件 x − 2 > 0 もいっしょに考える。
log3 (x-2) < 2 ⟺ 0 < x - 2 < 32
2
0 < x − 2 < 9 の各辺に2を足すと 2 < x < 11 である。
2 < x < 11
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常用対数

最終更新

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