集合と命題

Sets & Propositions

集合とは条件のはっきりした対象の集まりであり、命題とは真か偽かをはっきり判定できる文のことです。 2つの集合の共通部分である交わりと、合わせた和集合をベン図に描くと、その関係がひと目で見えます。命題「p ならば q」で仮定と結論を入れ替えたり否定したりすると逆・裏・対偶になり、対偶は元の命題と真偽が必ず一致します。このページでは集合を動かして演算の結果を見て、命題と対偶の関係も自分で確かめられます。

集合 — ベン図で見る

n(A)7

n(B)5

n(A∩B)3

💡 なぜ引くのか?

A に 7 人、B に 5 人がいるとき単純に足すと 12 だが、重なる人を 2 度数えてしまう。そこで交集合を 1 度引けば正確な和集合の人数になる。これが和集合公式の核心。

和集合の要素数

和集合公式

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

重なりを 1 度引いて重複を排除

📐 ベン図で確認

①A だけの領域 = n(A) − n(A∩B)

②B だけの領域 = n(B) − n(A∩B)

③交集合 = n(A∩B)

④3 領域の和 = n(A) + n(B) − n(A∩B)

⑤上のスライダーで確認

集合演算とド・モルガン

ド・モルガンの法則

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

和集合の補 = 各補集合の交集合

ド・モルガン (2)

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

交集合の補 = 各補集合の和集合

💡 覚え方

①補集合をとると ∪ と ∩ がひっくり返る

②直観：「A または B に属さない」=「A にも属さず B にも属さない」

③差集合：A − B = A ∩ Bᶜ（A から B との重なりを除く）

命題と対偶 — 真偽値比較

p（0=偽, 1=真）1

q（0=偽, 1=真）1

命題 p → q

p → q が偽となるのは p=真, q=偽のときだけ

仮定が真で結論が偽なら命題は偽

🔍 逆・裏・対偶

①逆：q → p（元と真偽は無関係）

②裏：~p → ~q（元と真偽は無関係）

③対偶：~q → ~p（元と常に同じ真偽値!)

④対偶証明：p→q が直接証明しにくければ ~q→~p を証明

実際に解いてみる

例題 1

全体集合の二つの部分集合 A, B について n(A)=20, n(B)=15, n(A∩B)=8 のとき、n(A∪B) を求めよ。

和集合の要素数の公式を書く。

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

値を代入する。

n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27

▸ n(A ∪ B) = 27

重なる交集合を一度だけ引くのが核心。

例題 2

全体集合 U について n(U)=30, n(A)=18, n(B)=14, n(A∩B)=7 のとき、n(Aᶜ ∩ Bᶜ) を求めよ。

まず和集合の要素数を求める。

n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25

ド・モルガンより Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ なので全体集合から引く。

n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5

▸ n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 5

補集合の交わりはド・モルガンで和集合の補集合に変えて解く。

まとめ

教育庁高1 学力評価類型

実数 x に対する二つの条件 p: 1 ≤ x ≤ 5, q: x ≥ k がある。p が q であるための十分条件となる実数 k の最大値は?

①-1

②0

③1

④2

⑤3

▸ ③ 1

p が q の十分条件なら、真理集合の間に P ⊆ Q が成り立つ。

P = {x | 1 ≤ x ≤ 5}, Q = {x | x ≥ k}, P ⊆ Q

P のすべての要素が x ≥ k を満たすには、k が P の最小値 1 を超えてはならない。

k ≤ 1 なので最大値は k = 1

🎯 試験ポイント

①n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

②ド・モルガン：補をとると ∪ ↔ ∩ が反転

③p→q が偽 ⟺ p 真かつ q 偽

④元の命題 ⟺ 対偶（真偽は常に同じ）

⑤十分条件：p→q が真のとき p は q の十分条件、q は p の必要条件