共通数学›集合・命題・関数

集合と命題

Sets & Propositions

集合 — ベン図で見る

n(A)7

n(B)5

n(A∩B)3

💡 なぜ引くのか?

A に 7 人、B に 5 人がいるとき単純に足すと 12 だが、重なる人を 2 度数えてしまう。そこで交集合を 1 度引けば正確な和集合の人数になる。これが和集合公式の核心。

和集合の要素数

和集合公式

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

重なりを 1 度引いて重複を排除

📐 ベン図で確認

①A だけの領域 = n(A) − n(A∩B)

②B だけの領域 = n(B) − n(A∩B)

③交集合 = n(A∩B)

④3 領域の和 = n(A) + n(B) − n(A∩B)

⑤上のスライダーで確認

集合演算とド・モルガン

ド・モルガンの法則

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

和集合の補 = 各補集合の交集合

ド・モルガン (2)

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

交集合の補 = 各補集合の和集合

💡 覚え方

①補集合をとると ∪ と ∩ がひっくり返る

②直観：「A または B に属さない」=「A にも属さず B にも属さない」

③差集合：A − B = A ∩ Bᶜ（A から B との重なりを除く）

命題と対偶 — 真偽値比較

p（0=偽, 1=真）1

q（0=偽, 1=真）1

命題 p → q

p → q が偽となるのは p=真, q=偽のときだけ

仮定が真で結論が偽なら命題は偽

🔍 逆・裏・対偶

①逆：q → p（元と真偽は無関係）

②裏：~p → ~q（元と真偽は無関係）

③対偶：~q → ~p（元と常に同じ真偽値!)

④対偶証明：p→q が直接証明しにくければ ~q→~p を証明

まとめ

🎯 試験ポイント

①n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

②ド・モルガン：補をとると ∪ ↔ ∩ が反転

③p→q が偽 ⟺ p 真かつ q 偽

④元の命題 ⟺ 対偶（真偽は常に同じ）

⑤十分条件：p→q が真のとき p は q の十分条件、q は p の必要条件