seegongsik
高校1年生 (15-16歳)

数I 集合と命題 わかりやすく

Sets & Propositions

集合は、あるものがふくまれるかどうかをはっきり決められる集まりで、命題は、正しいか正しくないか（真か偽か）がはっきり決まる文です。 2つの集合の両方にふくまれる要素を集めた共通部分と、少なくとも一方にふくまれる要素を集めた和集合は、ベン図にかくと関係がひと目でわかります。 「pならばq」という命題で仮定と結論を入れかえたり否定したりすると、逆・裏・対偶ができますが、そのうち対偶はもとの命題と真偽がいつも一致します。 1つ目の図では要素の個数を変えて和集合の要素の個数の公式を確かめ、2つ目の図ではpとqの真偽を変えて、もとの命題と対偶を並べて比べられます。

ベン図で見る集合

7
5
3
💡 なぜ共通部分を引くのか
サッカー部に7人、バスケットボール部に5人いても、2つの部の生徒が全部で12人とはかぎらない。両方に入っている生徒が3人いれば、その3人を2回数えたことになる。そこで重なった3人を1回引くと、少なくとも一方の部に入っている生徒の数、つまり9人が求まる。これが和集合の要素の個数の公式である。

和集合の要素の個数

和集合の要素の個数
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2回数えた共通部分を1回引く
📐 ベン図で確かめる
①Aだけにふくまれる要素はn(A) − n(A ∩ B)個
②Bだけにふくまれる要素はn(B) − n(A ∩ B)個
③両方にふくまれる要素はn(A ∩ B)個
④3つの部分を足すとn(A) + n(B) − n(A ∩ B)になる
⑤上の図の3つの数を足すと、いつも下の行のn(A ∪ B)と等しい

補集合とド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則（1）
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
和集合の補集合は、それぞれの補集合の共通部分
ド・モルガンの法則（2）
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
共通部分の補集合は、それぞれの補集合の和集合
💡 覚え方
①かっこの外の補集合を中に入れると、∪と∩が入れかわる
②「AまたはBにふくまれない」は「Aにもふくまれず、Bにもふくまれない」と同じ意味である
③差集合も同じようにA − B = A ∩ B^cと書ける

命題と対偶

1
1
命題 p → q
p → qが偽になるのは、pが真でqが偽のときだけ
仮定が真なのに結論が偽なら、命題は偽である
🔍 逆・裏・対偶
①逆q → pは、もとの命題と真偽が一致するとはかぎらない
②裏p̄ → q̄も、もとの命題と真偽が一致するとはかぎらない
③対偶q̄ → p̄は、もとの命題といつも真偽が一致する
④p → qを直接示しにくいときは、対偶q̄ → p̄を示して証明できる
⑤p → qが真なら、pはqであるための十分条件、qはpであるための必要条件である

例題と単元テスト

例題 1
全体集合Uの2つの部分集合A, Bについて、n(A) = 20, n(B) = 15, n(A ∩ B) = 8のとき、n(A ∪ B)を求めよ。
1
和集合の要素の個数の公式を使う。
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2
値を代入する。
n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27
▸ n(A ∪ B) = 27
Aだけに12個、Bだけに7個、両方に8個あるので、12 + 7 + 8 = 27でも確かめられる。
例題 2
全体集合Uについて、n(U) = 30, n(A) = 18, n(B) = 14, n(A ∩ B) = 7のとき、n(Ac ∩ Bc)を求めよ。
1
まず和集合の要素の個数を求める。
n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25
2
ド・モルガンの法則よりAc ∩ Bc = (A ∪ B)cなので、全体集合から引く。
n(Ac ∩ Bc) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5
▸ n(Ac ∩ Bc) = 5
AにもBにもふくまれない要素の個数をたずねる問題である。ベン図では2つの円の外側の部分にあたる。

まとめ

教育庁 高1 学力評価 類型
実数 x に対する二つの条件 p: 1 ≤ x ≤ 5, q: x ≥ k がある。p が q であるための十分条件となる実数 k の最大値は？
①-1
②0
③1
④2
⑤3
▸ ③ 1
1
p が q の十分条件なら、真理集合の間に P ⊆ Q が成り立つ。
P = {x | 1 ≤ x ≤ 5}, Q = {x | x ≥ k}, P ⊆ Q
2
P のすべての要素が x ≥ k を満たすには、k が P の最小値 1 を超えてはならない。
k ≤ 1 なので最大値は k = 1
🎯 よく出るポイント
①n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
②ド・モルガンの法則：補集合をかっこの中に入れると∪と∩が入れかわる
③p → qが偽になるのは、pが真でqが偽のときだけ
④命題とその対偶は、真偽がいつも一致する
⑤p → qが真のとき、pは十分条件、qは必要条件
← 前へ
図形の移動
次へ →
有理関数

最終更新

このページがお役に立ったなら支援する