多項式の演算

Polynomial Operations

多項式の掛け算と割り算は、実はすでに知っている数の計算を文字に広げただけです。二つの一次式の積は長方形を四つの部分に分けて見ると展開式の各項がどこから来るのか一目でわかり、割り算は組立除法で商と余りを素早く求められます。 17 = 5 × 3 + 2 と同じように、多項式も f(x) = 除式 × 商 + 余りという同じ構造に従います。このページでは b と定数項をスライダーで動かし、面積モデルと組立除法がどう変わるかを確かめてみましょう。

多項式の乗法 — 面積で見る

2つの多項式の積は長方形の面積で理解できる。(x + a)(x + b) を展開すると4つの小さな長方形の面積の和。

b の値4

💡 面積モデルの核心

①x² は大きな正方形、(a+b)x は2つの長方形、ab は小さな長方形

②各領域の面積の和が展開式

③これが乗法公式の基礎

多項式の除法 — 組立除法

多項式を (x - a) で割るとき、組立除法を使えば商と余りを素早く求められる。

定数項 a₀6

🔑 組立除法の原理

①(x - a) で割るとき a を左に書く

②最高次係数をそのまま下ろす

③下ろした数 × a を次の係数に加える

④最後の数が余り

除法の関係式

多項式除法の等式

f(x) = (x − a) · Q(x) + R

被除式 = 除式 × 商 + 余り

恒等式の性質

(n 次多項式) ÷ (1 次) → 商：n−1 次、余り：定数

除法後、次数が1減る

📐 整数の除法との比較

①17 ÷ 5 = 3 … 2 → 17 = 5 × 3 + 2

②多項式も同じ構造：f(x) = 除式 × 商 + 余り

③余りの次数 < 除式の次数（常に!)

乗法公式まとめ

完全平方式

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

平方の展開

和差公式

(a + b)(a − b) = a² − b²

和 × 差 = 平方の差

3乗の展開

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

二項定理 n=3 の場合

実際に解いてみる

例題 1

(x + 3)² を展開せよ。

完全平方の公式 (a + b)² = a² + 2ab + b² を使う。

(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²

整理する。

x² + 6x + 9

▸ x² + 6x + 9

乗法公式を覚えると展開が速くなる。

例題 2

x + y = 5, xy = 3 のとき、x² + y² の値を求めよ。

乗法公式の変形 x² + y² = (x + y)² − 2xy を使う。

x² + y² = (x + y)² − 2xy

値を代入する。

= 5² − 2·3 = 25 − 6 = 19

▸ x² + y² = 19

和と積が与えられたら乗法公式の変形で対称式を求める。

まとめ

核心除法の等式

f(x) = (除式) × Q(x) + R

すべての多項式除法の基本構造

高1 校内試験類型

x + y = 4, xy = 2 のとき、x³ + y³ の値は?

①28

②34

③40

④46

⑤52

▸ ③ 40

立方の和の変形 x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) を使う。

x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)

値を代入する。

= 4³ − 3·2·4 = 64 − 24 = 40

🎯 試験ポイント

①乗法公式は因数分解の逆 — 双方向で習熟必須

②組立除法は剰余定理と直結

③除法等式で x に値を代入し余りを求める

④3乗展開は二項定理に拡張

⑤次数関係：被除式の次数 = 商の次数 + 除式の次数

剰余定理と因数定理

このページがお役に立ったなら支援する