数I 多項式の演算 わかりやすく

多項式のかけ算を面積で見る

整数で17を5で割ると商3、余り2が出て、これを17 = 5 × 3 + 2という1つの等式で書ける。多項式の割り算も、商と余りを別々に覚えるより、こうした1つの等式にまとめておくほうが、次の単元で使いやすい。かけ算も同じで、展開した結果だけを覚えると、符号や係数を1つ落としやすい。そこでこのページでは、かけ算を面積の図で、割り算を係数の表で見て、それぞれの項がどこから来てどこへ行くのかを目で追う。

2つの多項式の積は長方形の面積として見ることができる。(x + 3)(x + b)を展開すると、4つの小さな長方形の面積の和になる。図では3を固定し、bだけを変える。

面積の図は、1辺がxの正方形と、その右、下、右下のすみの3つの部分でできている。大きな正方形の面積はx²、右の部分はbx、下の部分は3x、すみの部分は3bである。bを1から7まで変えると、右側の2つの部分の横の長さだけが変わり、下に書かれた展開式の1次の項の係数3 + bと定数項3bもいっしょに変わる。たとえばb = 4なら(x + 3)(x + 4) = x² + 7x + 12である。

多項式の割り算：組立除法

多項式をx − aで割るとき、組立除法を使うと、係数だけで商と余りを手早く求められる。

割り算を等式で書く

組立除法の表をうめる順番だけを覚えると、最後のますがなぜ余りなのかを見落としやすい。1次式で割ると、余りはそれより次数が低くなければならないので定数になる。だから、いちばん下の行の前のほうのますは商の係数で、最後の1つだけが余りである。上の図で商はいつもx² + 3x − 2で、定数項を変えると最後のますだけが（定数項） − 2に変わる。定数項が2のとき余りは0になり、x³ + 2x² − 5x + 2がx − 1で割り切れることを表している。

乗法公式

例題と単元テスト

乗法公式の問題では、まず与えられた式がどの公式の左辺と同じ形かを選ぶ。(x + 3)²のように同じ式を2回かけるなら平方の公式を、和と積だけが与えられたらx² + y² = (x + y)² − 2xyのような変形を使う。数を入れる前に、それぞれの項が面積の図のどの部分にあたるかを思いうかべると、2abの2を落とすまちがいが減る。答えを書いたあと、x = 1のような簡単な数を両辺に入れて確かめるのもよい。

まとめ

割り算の等式f(x) = (x − a)Q(x) + Rにx = aを代入すると、前の部分が0になってf(a) = Rだけが残る。表の最後のますを、割り算をしなくてもf(a)で直接求められるということで、これが次の単元の剰余の定理である。余りが0ならx − aは因数なので、乗法公式を逆に使って因数を見つける因数分解も、同じ等式の上に立っている。面積で見た展開と表で見た割り算が、同じ文字と同じ係数を使っていることをおさえておくと、次の単元がひとつにつながる。