Polynomial Operations
多項式の掛け算と割り算は、実はすでに知っている数の計算を文字に広げただけです。 二つの一次式の積は長方形を四つの部分に分けて見ると展開式の各項がどこから来るのか一目でわかり、割り算は組立除法で商と余りを素早く求められます。 17 = 5 × 3 + 2 と同じように、多項式も f(x) = 除式 × 商 + 余り という同じ構造に従います。 b と定数項を動かすと、面積モデルと組立除法の変化が見えます。
掛け算と割り算を別々のコツとして覚えると、展開で出た項が割り算の表のどのマスへ戻るかが切れます。面積の断片と係数の表を一枚に置くのは、同じ文字 x が二つの絵で同じ席を占めることを先に固定するためです。整数で商と余りを分けて書いていた癖を文字へ移すことが、この単元の出発点です。公式の一覧より、項の出所を目で押さえておくほうが、あとで符号を間違えにくくなります。
2つの多項式の積は長方形の面積で理解できる。(x + 3)(x + b) を展開すると四つの小さな長方形の面積の和。この図の a は 3 で固定。
掛け算の絵は大きな正方形一つと、その右・下・隅の三つの断片に分かれており、大きなマスには x²、右上にはスライダーの値と x の積、下には 3x、隅には 3 とスライダーの値の積が書いてあります。b を 1 から 7 まで変えると右側二つの断片の横幅だけが描き直され、下の式の一次の係数と定数項も一緒に変わります。組立除法の表は左に 1 があり、上の行に 1、2、-5、それから定数項のスライダー値が並び、一番下の最後のマスが余りとして強調されています。定数項を -5 から 10 まで変えると、その最後のマスと余りのラベルが変わり、前の三つの係数が下りてくるマスはそのままです。
多項式を (x - a) で割るとき、組立除法を使えば商と余りを素早く求められる。
表を上から下へ埋める順番だけを覚えると、最後のマスを余りとして読む理由が抜けます。割る式が一次なら残る値は定数でなければならないので、そのマスは商の項ではなく等式を閉じる席として読みます。次数の条件を飛ばすと、その数を商の末項のように付けてしまいます。整数で商と余りを分けて書いていた席と同じだと先に見れば、暗記の順番よりどのマスが等式を閉じるかがはっきりします。
完全平方や、和と積だけが与えられた式を扱うときは、まずどの公式の左辺と合わせるかを選びます。文字を数に替える前に、各項が面積の絵のどの断片に当たるかを短く印しておくと、符号と係数の落としが減ります。答えを書く前に、展開した項の個数が公式の項の個数と合うかをもう一度見ます。立方のように項が増える変形は、同じ席でもう一枚だけ広げればよいです。
表を埋めるとき最後のマスを余りとして読む癖がないと、次に x に値を入れてそのマスをすぐ読む定理へ進めません。掛け算公式を逆に束ねて因数を探すことも、その定理の上にあります。表の左の 1 は (x-1) の根なので、その席に数を入れる読みが次の定理の始まりです。面積で見た展開と表で見た割り算が同じ文字を使っているので、次へ移るときに記号を替えないことが大切です。