共通数学›多項式

多項式の演算

Polynomial Operations

多項式の乗法 — 面積で見る

2つの多項式の積は長方形の面積で理解できる。(x + a)(x + b) を展開すると4つの小さな長方形の面積の和。

b の値4

💡 面積モデルの核心

①x² は大きな正方形、(a+b)x は2つの長方形、ab は小さな長方形

②各領域の面積の和が展開式

③これが乗法公式の基礎

多項式の除法 — 組立除法

多項式を (x - a) で割るとき、組立除法を使えば商と余りを素早く求められる。

定数項 a₀6

🔑 組立除法の原理

①(x - a) で割るとき a を左に書く

②最高次係数をそのまま下ろす

③下ろした数 × a を次の係数に加える

④最後の数が余り

除法の関係式

多項式除法の等式

f(x) = (x − a) · Q(x) + R

被除式 = 除式 × 商 + 余り

恒等式の性質

(n 次多項式) ÷ (1 次) → 商：n−1 次、余り：定数

除法後、次数が1減る

📐 整数の除法との比較

①17 ÷ 5 = 3 … 2 → 17 = 5 × 3 + 2

②多項式も同じ構造：f(x) = 除式 × 商 + 余り

③余りの次数 < 除式の次数（常に!)

乗法公式まとめ

完全平方式

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

平方の展開

和差公式

(a + b)(a − b) = a² − b²

和 × 差 = 平方の差

3乗の展開

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

二項定理 n=3 の場合

まとめ

核心除法の等式

f(x) = (除式) × Q(x) + R

すべての多項式除法の基本構造

🎯 試験ポイント

①乗法公式は因数分解の逆 — 双方向で習熟必須

②組立除法は剰余定理と直結

③除法等式で x に値を代入し余りを求める

④3乗展開は二項定理に拡張

⑤次数関係：被除式の次数 = 商の次数 + 除式の次数