幾何›二次曲線

放物線

Parabola

焦点と準線の直感
1.5
👀 放物線とは?
①放物線上の任意の点Pをとる
②焦点Fまでの距離と準線までの距離が常に等しい
③この'等距離'条件が放物線の定義
④焦点から出た光は放物線で反射して平行に進む — パラボラアンテナ、ヘッドライトの原理!
pによる形の変化
1.5
📏 pの意味
①pが大きいと焦点が遠くなり放物線が広がる
②pが小さいと焦点が近くなり放物線が狭くなる
③準線は常に焦点の反対側に同じ距離
標準形の導出
放物線の標準形(横)
y² = 4px
焦点 F(p, 0)、準線 x = −p、頂点は原点
放物線の標準形(縦)
x² = 4py
焦点 F(0, p)、準線 y = −p、頂点は原点
🔍 導出過程
①定義: PF = Pd (焦点までの距離 = 準線までの距離)
②点P(x,y)からF(p,0)までの距離: √((x−p)² + y²)
③準線 x=−p までの距離: |x+p|
④両辺を平方すると (x−p)² + y² = (x+p)²
⑤展開して y² = 4px
頂点が原点でない場合
平行移動した放物線
(y − k)² = 4p(x − h)
頂点 (h, k)、焦点 (h+p, k)
🎯 平行移動の核心
①xの代わりに(x−h)、yの代わりに(y−k)を代入
②焦点も同方向に(h,k)だけ移動
③準線も x = h−p に移動
④公式の構造は同じ
総まとめ
核心公式
y² = 4px
焦点 (p,0) | 準線 x=−p | p>0なら右、p<0なら左に開く
🎯 試験ポイント
①放物線の定義:焦点までの距離 = 準線までの距離
②y²=4pxで4pの符号により開く方向を判別
③焦点座標と準線方程式を素早く求める練習
④頂点が(h,k)なら平行移動公式
⑤放物線の焦点はパラボラアンテナ・ヘッドライト原理に関連