seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数C 放物線 わかりやすく

Parabola

放物線は、1 つの点（焦点）と 1 本の直線（準線）からの距離が等しい点の集まりです。 この「距離が等しい」という条件 1 つから、放物線の式も性質もすべて出てきます。 パラボラアンテナや車のヘッドライトが放物線の形をしているのも、焦点から出た光が放物線で反射すると軸に平行に進むからです。 焦点までの距離 p と点 P の位置を動かすと、放物線の開き方が変わっても PF と PD はいつも等しくなります。

焦点と準線

2 次関数のグラフとして見てきた放物線を焦点と準線で定義し直すのは、曲線がなぜその形になるのかを 1 つの条件で説明できるからである。曲線上の点 P から焦点 F までの距離と準線までの距離が等しいという条件を座標で書くと、標準形 y² = 4px が得られる。この式から 4p を読みとるだけで、焦点 (p, 0)、準線 x = −p、頂点の原点がまとめて決まる。上下に開く放物線は x² = 4py で、頂点が (h, k) に移れば、焦点と準線も同じ向きに同じだけ移る。焦点から出た光が反射して軸に平行に進む性質も、この距離の条件から導かれる。

最初の図は右に開く放物線 y² = 4px である。金色の点が焦点 F(p, 0)、青い点線が準線 x = −p で、緑の点 P は曲線上を動く。緑の線分が PF、青い線分が P から準線に下ろした垂線 PD で、上の帯に 2 つの長さが並んで出る。点 P の y 座標を上下に動かしても、焦点までの距離 p を 0.5 から 3 まで変えても、PF と PD はいつも等しく、その値は x + p である。2 番目の図には p = 0.5, 1, 2 の基準の曲線がうすく描かれ、選んだ p の曲線と焦点が金色で重ねてある。基準の曲線とくらべると、p が大きいほど曲線が広く開くことがわかる。

1.5
2.5
👀 放物線の定義
①曲線上のどこに点 P をとっても PF = PD である
②この「距離が等しい」という条件が放物線の定義である
③PD は x + p なので PF も x + p で、これを式に整理すると y² = 4px になる
④焦点から出た光は放物線で反射して軸に平行に進む。パラボラアンテナやヘッドライトはこの性質を使っている

p による形の変化

y² = 4px の x の係数 4p をそのまま p と読むと、焦点と準線が 4 倍遠くに置かれてしまう。y² = 12x なら 4p = 12 なので p = 3 で、焦点は (3, 0)、準線は x = −3 である。p が大きくなると曲線が細くなると思いがちだが、逆である。同じ x では y² = 4px の y の大きさは p が大きいほど大きいので、2 番目の図で p = 2 の曲線は p = 0.5 の曲線より広く開く。頂点だけを見て焦点と準線を忘れると、曲線上の点で 2 つの距離が等しいかを確かめる検算もできない。この図は p > 0 の場合だけを描いていて、p < 0 なら同じ式が左に開く放物線を表す。

1.5
📏 p の意味
①p は頂点から焦点までの距離で、頂点から準線までの距離も p である
②p が大きいと焦点が遠くなり、放物線は広く開く
③p が小さいと焦点が頂点に近づき、放物線は細くなる
④焦点を通り軸に垂直な弦の長さは 4p である

標準形を導く

放物線の標準形（左右に開く）
y² = 4px
焦点 F(p, 0)、準線 x = −p、頂点は原点
放物線の標準形（上下に開く）
x² = 4py
焦点 F(0, p)、準線 y = −p、頂点は原点
🔍 式の立て方
①定義は PF = PD である
②点 P(x, y) から F(p, 0) までの距離は √((x − p)² + y²) である
③準線 x = −p までの距離は |x + p| である
④2 つを等しいとおいて両辺を 2 乗すると (x − p)² + y² = (x + p)² になる
⑤整理すると y² = 4px となり、p の符号が開く向きを決める

頂点が原点でないとき

平行移動した放物線
(y − k)² = 4p(x − h)
頂点 (h, k)、焦点 (h + p, k)、準線 x = h − p
🎯 平行移動のかなめ
①x のかわりに x − h、y のかわりに y − k を代入する
②焦点も同じ向きに移って (h + p, k) になる
③準線は x = h − p に移る
④p と 4p の関係は変わらない

例題

例題 1
放物線 y² = 12x の焦点と準線を求めよ。
1
標準形 y² = 4px とくらべて p を求める。
4p = 12 ⇒ p = 3
2
焦点は (p, 0)、準線は x = −p である。
焦点 (3, 0), 準線 x = −3
▸ 焦点 (3, 0)、準線 x = −3
y² = 4px の形では、4p の値をくらべるだけで焦点と準線がすぐに出る。
例題 2
放物線 (y − 1)² = 8(x − 2) の焦点の座標を求めよ。
1
頂点は (2, 1) で、4p = 8 から p = 2 である。
4p = 8 ⇒ p = 2, 頂点 (2, 1)
2
焦点は頂点から x 方向に p だけ移った (h + p, k) である。
(2 + 2, 1) = (4, 1)
▸ (4, 1)
平行移動した放物線では、頂点 (h, k) に p を足して焦点を求める。準線は x = h − p = 0 である。

まとめ

かなめの公式
y² = 4px
焦点 (p, 0)、準線 x = −p。p > 0 なら右に、p < 0 なら左に開く
2023 評価院 模試 数学（幾何） 類題
放物線 y² = 4px の焦点が (2, 0) のとき、準線の方程式は。
①x = −2
②x = 2
③x = −1
④x = 1
⑤y = −2
▸ ① x = −2
1
y² = 4px の焦点は (p, 0) なので p = 2 である。
2
準線は x = −p である。
準線 x = −2
🎯 試験のポイント
①放物線の定義は、焦点までの距離と準線までの距離が等しいこと
②y² = 4px では 4p の符号で開く向きを判断する
③x の係数から 4p を読み、p を求めて焦点と準線を書く
④頂点が (h, k) なら平行移動を考える
⑤曲線上の点から焦点までの距離は、準線までの距離に直すと計算しやすい
← 前へ
定積分の応用
次へ →
楕円

最終更新

このページがお役に立ったなら支援する