数C 放物線わかりやすく

Parabola

放物線は、一つの点(焦点)と一本の直線(準線)から等しい距離にある点が集まってできる曲線です。この「距離が等しい」という一つの規則が、放物線のすべての性質を決めます。パラボラアンテナや車のヘッドライトが放物線を使うのも、焦点に集めた光を平行に放つ性質のためです。焦点距離 p のスライダーを動かすと、放物線が広がったり狭まったりし、点Pから焦点までの距離と準線までの距離がいつも等しくなる様子が見えます。

焦点と準線の直感

二次式のグラフと焦点・準線の定義は同じ曲線を指しますが、読み始める入口が違います。点 P から焦点 F までの長さと準線への垂線の長さが等しい、という条件が放物線で、標準形 y² = 4px はその条件を係数一つに収めた式です。焦点は (p, 0)、準線は x = −p、頂点は原点なので、4p だけ読めば三つの位置が一緒に出ます。縦に開く形は x² = 4py で、頂点が (h, k) へ移れば焦点も同じ向きへ一緒に移ります。平行な光線の束はこの等距離の規則の結果であり、二次式だからという理由だけで生じる性質ではありません。

最初の図は y² = 4px を横に開いた曲線です。金色の点 F は (p, 0) にあり、青い点線の準線は x = −p に立ち、頂点 O は原点にあります。緑の点 P から F へ、また準線へ垂線がつながり、そばに PF = Pd と書いてあります。焦点距離 p は 0.5 から 3 までで、最初の値は 1.5 です。p を大きくすると F は右へ、準線は左へ開き、曲線はより広く描かれます。二つ目の図には比較用に p = 0.5, 1.0, 2.0 の三曲線が重なり、選んだ p に近い線が濃くなります。下の文には、p が大きいほど放物線が広がると書いてあります。

焦点距離 p1.5

👀 放物線とは?

①放物線上の任意の点Pをとる

②焦点Fまでの距離と準線までの距離が常に等しい

③この'等距離'条件が放物線の定義

④焦点から出た光は放物線で反射して平行に進む — パラボラアンテナ、ヘッドライトの原理!

pによる形の変化

y² = 4px の右の係数を p そのものとして読むと、焦点と準線が四倍ずれます。比べる値は 4p で、焦点は (p, 0)、準線は x = −p です。 p を大きくすると曲線が狭まると考えると、二つ目の図と逆になります。 p = 0.5 より p = 2.0 のほうが広く開いています。頂点だけ見て焦点と準線を外すと、曲線上の一点で二つの長さが等しいという検査ができません。この図の p スライダーは 0.5 以上なので右に開く形だけが描いてあり、p < 0 で左に開く場合は式の符号にだけ書いてあります。

p 値1.5

📏 pの意味

①pが大きいと焦点が遠くなり放物線が広がる

②pが小さいと焦点が近くなり放物線が狭くなる

③準線は常に焦点の反対側に同じ距離

④比べる曲線は 0.5·1.0·2.0 だけ。p はステップ1と同じ。初値 1.5 は強調なし

標準形の導出

放物線の標準形(横)

y² = 4px

焦点 F(p, 0)、準線 x = −p、頂点は原点

放物線の標準形(縦)

x² = 4py

焦点 F(0, p)、準線 y = −p、頂点は原点

🔍 導出過程

①定義: PF = Pd (焦点までの距離 = 準線までの距離)

②点P(x,y)からF(p,0)までの距離: √((x−p)² + y²)

③準線 x=−p までの距離: |x+p|

④両辺を平方すると (x−p)² + y² = (x+p)²

⑤展開して y² = 4px。4p の符号が開く向き

頂点が原点でない場合

平行移動した放物線

(y − k)² = 4p(x − h)

頂点 (h, k)、焦点 (h+p, k)

🎯 平行移動の核心

①xの代わりに(x−h)、yの代わりに(y−k)を代入

②焦点も同方向に(h,k)だけ移動

③準線も x = h−p に移動

④公式の構造は同じ

実際に解いてみる

例題 1

放物線 y²=12x の焦点と準線を求めよ。

標準形 y²=4px と比較して p を求める。

4p=12 ⇒ p=3

焦点は (p, 0)、準線は x=−p である。

焦点 (3, 0), 準線 x=−3

▸ 焦点 (3, 0), 準線 x=−3

y²=4px の形では 4p の値を比べるだけで焦点と準線がすぐに分かる。

例題 2

放物線 (y−1)²=8(x−2) の焦点の座標を求めよ。

頂点は (2, 1)、4p=8 から p=2 である。

4p=8 ⇒ p=2, 頂点 (2, 1)

焦点は頂点から x 方向に p だけ移動した (h+p, k) である。

焦点 (2+2, 1) = (4, 1)

▸ (4, 1)

平行移動した放物線は頂点 (h,k) に p を足して焦点を求める。準線は x=h−p=0。

総まとめ

核心公式

y² = 4px

焦点 (p,0) | 準線 x=−p | p>0なら右、p<0なら左に開く

2023 評価院模試数学(幾何) 類題

放物線 y²=4px の焦点が (2, 0) のとき、準線の方程式は?

①x=−2

②x=2

③x=−1

④x=1

⑤y=−2

▸ ① x=−2

y²=4px の焦点は (p, 0) なので p=2。

準線は x=−p である。

準線 x=−2

🎯 試験ポイント

①放物線の定義:焦点までの距離 = 準線までの距離

②y²=4pxで4pの符号により開く方向を判別

③焦点座標と準線方程式を素早く求める練習

④頂点が(h,k)なら平行移動公式

⑤放物線の焦点はパラボラアンテナ・ヘッドライト原理に関連

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