放物線

Parabola

放物線は、一つの点(焦点)と一本の直線(準線)から等しい距離にある点が集まってできる曲線です。この「距離が等しい」という一つの規則が、放物線のすべての性質を決めます。パラボラアンテナや車のヘッドライトが放物線を使うのも、焦点に集めた光を平行に放つ性質のためです。焦点距離 p のスライダーを動かして、放物線が広がったり狭まったりする様子と、点Pから焦点までの距離と準線までの距離がいつも等しくなることを確かめてみましょう。

焦点と準線の直感

焦点距離 p1.5

👀 放物線とは?

①放物線上の任意の点Pをとる

②焦点Fまでの距離と準線までの距離が常に等しい

③この'等距離'条件が放物線の定義

④焦点から出た光は放物線で反射して平行に進む — パラボラアンテナ、ヘッドライトの原理!

pによる形の変化

p 値1.5

📏 pの意味

①pが大きいと焦点が遠くなり放物線が広がる

②pが小さいと焦点が近くなり放物線が狭くなる

③準線は常に焦点の反対側に同じ距離

標準形の導出

放物線の標準形(横)

y² = 4px

焦点 F(p, 0)、準線 x = −p、頂点は原点

放物線の標準形(縦)

x² = 4py

焦点 F(0, p)、準線 y = −p、頂点は原点

🔍 導出過程

①定義: PF = Pd (焦点までの距離 = 準線までの距離)

②点P(x,y)からF(p,0)までの距離: √((x−p)² + y²)

③準線 x=−p までの距離: |x+p|

④両辺を平方すると (x−p)² + y² = (x+p)²

⑤展開して y² = 4px

頂点が原点でない場合

平行移動した放物線

(y − k)² = 4p(x − h)

頂点 (h, k)、焦点 (h+p, k)

🎯 平行移動の核心

①xの代わりに(x−h)、yの代わりに(y−k)を代入

②焦点も同方向に(h,k)だけ移動

③準線も x = h−p に移動

④公式の構造は同じ

実際に解いてみる

例題 1

放物線 y²=12x の焦点と準線を求めよ。

標準形 y²=4px と比較して p を求める。

4p=12 ⇒ p=3

焦点は (p, 0)、準線は x=−p である。

焦点 (3, 0), 準線 x=−3

▸ 焦点 (3, 0), 準線 x=−3

y²=4px の形では 4p の値を比べるだけで焦点と準線がすぐに分かる。

例題 2

放物線 (y−1)²=8(x−2) の焦点の座標を求めよ。

頂点は (2, 1)、4p=8 から p=2 である。

4p=8 ⇒ p=2, 頂点 (2, 1)

焦点は頂点から x 方向に p だけ移動した (h+p, k) である。

焦点 (2+2, 1) = (4, 1)

▸ (4, 1)

平行移動した放物線は頂点 (h,k) に p を足して焦点を求める。準線は x=h−p=0。

総まとめ

核心公式

y² = 4px

焦点 (p,0) | 準線 x=−p | p>0なら右、p<0なら左に開く

2023 評価院模試数学(幾何) 類題

放物線 y²=4px の焦点が (2, 0) のとき、準線の方程式は?

①x=−2

②x=2

③x=−1

④x=1

⑤y=−2

▸ ① x=−2

y²=4px の焦点は (p, 0) なので p=2。

準線は x=−p である。

準線 x=−2

🎯 試験ポイント

①放物線の定義:焦点までの距離 = 準線までの距離

②y²=4pxで4pの符号により開く方向を判別

③焦点座標と準線方程式を素早く求める練習

④頂点が(h,k)なら平行移動公式

⑤放物線の焦点はパラボラアンテナ・ヘッドライト原理に関連

楕円

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