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高校3年生 (17-18歳)

数III 定積分の応用 わかりやすく

Applications of Definite Integrals

曲線を x 軸のまわりに 1 回転させると立体ができます。 その立体を x 軸に垂直に薄く切ると、切り口は半径 f(x) の円板なので、円板の面積 π[f(x)]² を x で積分すると体積が出ます。 曲線の長さも同じ考え方で、曲線をごく短い線分 ds = √(dx² + dy²) に切り、三平方の定理で測ってすべて足せば求まります。 回転角を回すと曲線が x 軸のまわりを回って切り口の円が描かれ、上端 t を動かすと曲線の長さとその正確な値がいっしょに変わります。

回転体の体積

270°
√x
🍩 円板を積み重ねる
①曲線を x 軸のまわりに 1 回転させると立体になる。点線は回転角だけ回った曲線で、オレンジの弧は各 x で描かれる切り口の円である
②x で切った切り口は半径 f(x) の円板で、その面積は π[f(x)]² である
③この面積を x で積分すると体積になる。図の下に、選んだ関数の体積を正確な値で書いた

体積を求める 3 つの方法

円板による方法
V = π ∫ab [f(x)]² dx
x 軸のまわりに回転するとき、半径 f(x) の円板の面積を積分する
ドーナツ形の切り口による方法
V = π ∫ab ([R(x)]² − [r(x)]²) dx
2 曲線の間の部分を回転するとき、外側の半径 R の円から内側の半径 r の円を除いた輪の面積を積分する
円筒の殻による方法
V = 2π ∫ab x · f(x) dx
y 軸のまわりに回転するとき、半径 x、高さ f(x) の薄い円筒の側面積 2πx · f(x) を積分する
💡 どの方法を使うか
①x 軸のまわりに回して x で積分するなら円板による方法
②中が空いた立体は、外側の円から内側の円を引く
③y 軸のまわりに回しながら x で積分したいときは、円筒の殻による方法を使う。どちらでもできるなら、計算が簡単なほうを選ぶ

曲線の長さ

3
📏 曲線に沿って測る
①曲線をごく短く切ると、それぞれのかけらは線分 ds に近い
②ds = √(dx² + dy²) は三平方の定理である。dy = f′(x) dx なので ds = √(1 + [f′(x)]²) dx となる
③y = x√x なら f′(x) = (3/2)√x で 1 + [f′(x)]² = 1 + 9x/4 となり、これを 0 から t まで積分した値が図の下の L である
④同じ 2 つの端点を線分で結ぶと、長さは L より短い
曲線の長さ
L = ∫ab √(1 + [f′(x)]²) dx
ds = √(1 + (dy/dx)²) dx を積分する

面積と道のり

2 曲線の間の面積
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
上の関数から下の関数を引いた値を積分する。上下が入れかわる交点があれば区間を分ける
速度と道のり
距離 = ∫ab |v(t)| dt, 変位 = ∫ab v(t) dt
速度の絶対値を積分すると実際に動いた道のり、速度をそのまま積分すると位置の変化（変位）になる
🚗 積分で積み上げる量
①速度 v(t) を積分すると位置の変化（変位）、|v(t)| を積分すると動いた道のりになる
②加速度 a(t) を積分すると速度の変化になる
③積分は小さな量を積み上げる計算である。円板の面積を積み上げれば体積、短い線分をつなげれば曲線の長さになる

例題

例題 1
曲線 y = √x（0 ≤ x ≤ 4）を x 軸のまわりに回転させた回転体の体積を求めよ。
1
V = π∫[f(x)]² dx を使う。[f(x)]² = x である。
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx
2
定積分を計算する。
π · 422 = π · 8 = 8π
▸ 8π
回転体の体積は、切り口の円板の面積 π[f(x)]² を積分したものである。図の y = √x は 0 ≤ x ≤ 2 なので 2π、0 ≤ x ≤ 4 なら 8π になる。
例題 2
2 曲線 y = x2 と y = 2x で囲まれた部分の面積を求めよ。
1
交点を求めて積分区間を決める。0 < x < 2 では 2x が上、x2 が下である。
x2 = 2x ⇒ x = 0, 2
2
（上 − 下）を積分する。
∫02 (2x − x2) dx = 4 − 83 = 43
▸ 43
面積は交点の間で（上の関数 − 下の関数）を積分する。まず上下の関係を確かめる。

まとめ

定積分の応用の 3 つの公式
V = π∫[f(x)]²dx, L = ∫√(1 + [f′(x)]²)dx, S = ∫|f − g|dx
回転体の体積、曲線の長さ、2 曲線の間の面積
韓国修能 類題
数直線上を動く点 P の速度が v(t) = 3t2 − 6t のとき、t = 0 から t = 3 までに P が動いた道のりは。
①4
②6
③8
④10
⑤12
▸ ③ 8
1
v(t) = 3t(t − 2) の符号を見る。0 < t < 2 で負、2 < t < 3 で正である。位置を s(t) = t3 − 3t2 とする。
v(t) = 3t(t − 2), s(t) = t3 − 3t2
2
道のりは ∫|v| dt なので、区間ごとの変位の絶対値を足す。
|s(2) − s(0)| + |s(3) − s(2)| = 4 + 4 = 8
🎯 試験のポイント
①V = π∫[f(x)]² dx が x 軸のまわりの回転の基本である
②中が空いた立体は [R(x)]² − [r(x)]² のように 2 乗の差を使う。(R − r)² ではない
③2π∫x · f(x) dx は y 軸のまわりの回転で便利である
④曲線の長さは、まず f′(x) を求めて √(1 + [f′(x)]²) を整理するのがかなめである
⑤面積は、上下が入れかわる交点をまず確かめる
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二曲線間の面積
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放物線

最終更新

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