定積分の応用

Applications of Definite Integrals

一本の曲線をx軸の周りにぐるりと回すと立体ができます。その立体をとても薄い円板に切ると、どれも半径f(x)の円なので、円板の面積π[f(x)]²を積み重ねて積分すれば体積が求まります。曲線の長さも同じ発想で、曲線を細かく切った直線片ds = √(dx²+dy²)をピタゴラスの定理で測り、全部つなげばよいのです。下で回転角を回して回転体ができる様子を、上限tを動かして弧の長さが積もる過程を確かめてみましょう。

回転体の体積

回転角270°

関数選択0

🍩 ディスクを積もう

①曲線をx軸の周りに回転させると立体になる

②各xの位置で円板の半径 = f(x)

③円板の面積 = π[f(x)]² → これを積分すると体積

体積公式

ディスク法(円板法)

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

x軸回転:半径f(x)の円板の面積を積分

ワッシャー法

V = π ∫_a^b ([R(x)]² − [r(x)]²) dx

2関数間の領域の回転:外半径R、内半径r

シェル法(円筒殻法)

V = 2π ∫_a^b x · f(x) dx

y軸回転:半径x、高さf(x)の円筒殻を積分

💡 ディスク vs シェル

①x軸回転 + xで積分 → ディスク法

②y軸回転 + xで積分 → シェル法

③両方可能なら計算が簡単な方を選ぶ

弧の長さ

上限 t3

📏 曲線に沿って測ろう

①曲線を非常に短く切ると直線片(ds)になる

②ds = √(dx² + dy²) — ピタゴラスの定理!

③この片を全て足す(積分)と弧の長さ

弧の長さの公式

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx

ds = √(1 + (dy/dx)²) dxを積分

面積と速度·距離

2曲線間の面積

S = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

上の関数 − 下の関数の絶対値を積分

速度と距離

距離 = ∫_a^b |v(t)| dt, 変位 = ∫_a^b v(t) dt

速度の絶対値の積分 = 総移動距離、速度の積分 = 変位(符号あり)

🚗 積分の物理的意味

①速度v(t)を積分 → 移動距離

②加速度a(t)を積分 → 速度

③積分は'積み重ね'である — 瞬間を積めば全体になる

例題で確認

例題 1

曲線 y = √x (0 ≤ x ≤ 4) を x 軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ。

円板法 V = π∫[f(x)]² dx を使う。[f(x)]² = x。

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx

定積分を計算する。

π · 4²2 = π · 8 = 8π

▸ 8π

回転体の体積は各断面の円板の面積 π[f(x)]² を積分する。x 軸回転なら円板法が基本。

例題 2

2 曲線 y = x² と y = 2x で囲まれた部分の面積を求めよ。

交点を求めて積分区間と上・下の関数を決める。

x² = 2x ⇒ x = 0, 2, 上 2x・下 x²

（上 − 下）を積分する。

∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 83 = 43

▸ 43

面積は交点の間で（上の関数 − 下の関数）を積分する。まず上下関係を確認。

総まとめ

定積分応用の核心3公式

V = π∫[f(x)]²dx, L = ∫√(1+[f']²)dx, S = ∫|f−g|dx

回転体体積、弧の長さ、2曲線間の面積

共通テスト類題

数直線上を動く点 P の速度が v(t) = 3t² − 6t のとき、t = 0 から t = 3 まで点 P が動いた道のりは？

①4

②6

③8

④10

⑤12

▸ ③ 8

v(t) = 3t(t − 2) の符号を見る（(0,2) で負、(2,3) で正）。

v(t) = 3t(t − 2), 位置 s(t) = t³ − 3t²

道のりは ∫|v| dt なので、各区間の変位の絶対値を足す。

|s(2) − s(0)| + |s(3) − s(2)| = 4 + 4 = 8

🎯 試験ポイント

①ディスク法:V = π∫[f(x)]²dx — x軸回転の基本

②ワッシャー法:2関数 → [R²−r²]の差に注意

③シェル法:2π∫x·f(x)dx — y軸回転で有利

④弧の長さ:√(1+f'²)の計算がカギ、f'を先に求める

⑤面積:|f−g|絶対値 → 上下関係が変わる交点の確認必須

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二曲線間の面積

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