微積分›定積分の応用

定積分の応用

Applications of Definite Integrals

回転体の体積

回転角270°

関数選択0

🍩 ディスクを積もう

①曲線をx軸の周りに回転させると立体になる

②各xの位置で円板の半径 = f(x)

③円板の面積 = π[f(x)]² → これを積分すると体積

体積公式

ディスク法(円板法)

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

x軸回転:半径f(x)の円板の面積を積分

ワッシャー法

V = π ∫_a^b ([R(x)]² − [r(x)]²) dx

2関数間の領域の回転:外半径R、内半径r

シェル法(円筒殻法)

V = 2π ∫_a^b x · f(x) dx

y軸回転:半径x、高さf(x)の円筒殻を積分

💡 ディスク vs シェル

①x軸回転 + xで積分 → ディスク法

②y軸回転 + xで積分 → シェル法

③両方可能なら計算が簡単な方を選ぶ

弧の長さ

上限 t3

📏 曲線に沿って測ろう

①曲線を非常に短く切ると直線片(ds)になる

②ds = √(dx² + dy²) — ピタゴラスの定理!

③この片を全て足す(積分)と弧の長さ

弧の長さの公式

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx

ds = √(1 + (dy/dx)²) dxを積分

面積と速度·距離

2曲線間の面積

S = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

上の関数 − 下の関数の絶対値を積分

速度と距離

距離 = ∫_a^b |v(t)| dt, 変位 = ∫_a^b v(t) dt

速度の絶対値の積分 = 総移動距離、速度の積分 = 変位(符号あり)

🚗 積分の物理的意味

①速度v(t)を積分 → 移動距離

②加速度a(t)を積分 → 速度

③積分は'積み重ね'である — 瞬間を積めば全体になる

総まとめ

定積分応用の核心3公式

V = π∫[f(x)]²dx, L = ∫√(1+[f']²)dx, S = ∫|f−g|dx

回転体体積、弧の長さ、2曲線間の面積

🎯 試験ポイント

①ディスク法:V = π∫[f(x)]²dx — x軸回転の基本

②ワッシャー法:2関数 → [R²−r²]の差に注意

③シェル法:2π∫x·f(x)dx — y軸回転で有利

④弧の長さ:√(1+f'²)の計算がカギ、f'を先に求める

⑤面積:|f−g|絶対値 → 上下関係が変わる交点の確認必須